Номер 20, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 20, страница 85.

Условие.

10.20. Через две образующие усечённого конуса, угол между которыми равен $90^\circ$, проведена плоскость, пересекающая большее основание по хорде длиной $a$, а меньшее – по хорде длиной $b$, и отсекающая от окружности каждого основания дугу, градусная мера которой $120^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R + r)l$, где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $l$ – длина образующей.

1. Нахождение радиусов оснований R и r

Рассмотрим большее основание. Хорда длиной $a$ отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $120^{\circ}$. Это значит, что центральный угол, опирающийся на эту хорду, также равен $120^{\circ}$. Этот угол вместе с двумя радиусами $R$, проведенными к концам хорды, образует равнобедренный треугольник со сторонами $R, R$ и $a$.

Применим к этому треугольнику теорему косинусов:

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^{\circ})$

Поскольку $\cos(120^{\circ}) = -1/2$, получаем:

$a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$

Отсюда выражаем радиус большего основания:

$R = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Аналогичные рассуждения применяем для меньшего основания, где хорда имеет длину $b$, а радиус равен $r$:

$b^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(120^{\circ}) = 3r^2$

Отсюда радиус меньшего основания:

$r = \frac{b}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение длины образующей l

Плоскость, проходящая через две образующие, образует сечение. Так как эти образующие пересекаются (иначе через них нельзя было бы провести одну плоскость, если они не параллельны), они пересекаются в вершине $P$ полного конуса, из которого получен усеченный конус.

Сечением полного конуса этой плоскостью является равнобедренный треугольник $APB$, где $PA$ и $PB$ — образующие полного конуса, а хорда $AB$ (длиной $a$) — его основание. По условию, угол между образующими $\angle APB = 90^{\circ}$. Таким образом, треугольник $APB$ является прямоугольным и равнобедренным.

По теореме Пифагора для треугольника $APB$:

$AB^2 = PA^2 + PB^2$

Так как $PA = PB$ и $AB = a$, то:

$a^2 = 2 \cdot PA^2 \implies PA = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Эта же плоскость пересекает малое основание по хорде $A'B'$ (длиной $b$), образуя подобный треугольник $A'PB'$. Для него так же верно:

$b^2 = 2 \cdot PA'^2 \implies PA' = \frac{b}{\sqrt{2}}$

Длина образующей усеченного конуса $l$ равна разности длин образующих полного конуса $PA$ и $PA'$:

$l = PA - PA' = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$

3. Вычисление площади боковой поверхности

Теперь подставим найденные выражения для $R, r$ и $l$ в формулу площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R + r)l = \pi\left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)$

$S_{бок} = \pi \frac{a+b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a-b}{\sqrt{2}} = \pi \frac{(a+b)(a-b)}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

$S_{бок} = \frac{\pi(a^2 - b^2)}{\sqrt{6}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$S_{бок} = \frac{\pi\sqrt{6}(a^2 - b^2)}{6}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi\sqrt{6}(a^2 - b^2)}{6}$.