Номер 22, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 85.

Условие.

10.22. Ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину острого угла ромба перпендикулярно к его стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть ромб $ABCD$ имеет сторону длиной $a$ и острый угол $\angle DAB = \alpha$. Ось вращения проходит через вершину $A$ перпендикулярно стороне $AD$. Введем систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат $(0,0)$, а сторона $AD$ лежала на оси $Ox$. Тогда осью вращения будет ось $Oy$.

Координаты вершин ромба будут следующими:

• $A = (0, 0)$
• $D = (a, 0)$
• $B = (a \cos\alpha, a \sin\alpha)$
• $C = D + \vec{AB} = (a, 0) + (a \cos\alpha, a \sin\alpha) = (a(1+\cos\alpha), a \sin\alpha)$

Тело вращения образуется при вращении ромба $ABCD$ вокруг оси $Oy$. Площадь поверхности этого тела складывается из площадей поверхностей, образованных вращением его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

1. Поверхность, образованная вращением стороны AB
Сторона $AB$ при вращении образует боковую поверхность конуса. Вершина конуса находится в точке $A(0,0)$. Радиус основания конуса равен абсциссе точки $B$, то есть $r_1 = x_B = a \cos\alpha$. Образующая конуса равна длине стороны ромба, $l = a$.Площадь этой поверхности:$S_1 = \pi r_1 l = \pi (a \cos\alpha) a = \pi a^2 \cos\alpha$.Это внутренняя поверхность тела вращения.

2. Поверхность, образованная вращением стороны BC
Сторона $BC$ является горизонтальным отрезком, соединяющим точки $B(a \cos\alpha, a \sin\alpha)$ и $C(a(1+\cos\alpha), a \sin\alpha)$. При вращении она образует плоское кольцо, расположенное на высоте $y = a \sin\alpha$.Внешний радиус кольца $R_2 = x_C = a(1+\cos\alpha)$.Внутренний радиус кольца $r_2 = x_B = a \cos\alpha$.Площадь этого кольца:$S_2 = \pi R_2^2 - \pi r_2^2 = \pi (a(1+\cos\alpha))^2 - \pi (a \cos\alpha)^2 = \pi a^2 ((1+\cos\alpha)^2 - \cos^2\alpha)$$S_2 = \pi a^2 (1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha - \cos^2\alpha) = \pi a^2 (1 + 2\cos\alpha)$.Это верхняя поверхность тела вращения.

3. Поверхность, образованная вращением стороны CD
Сторона $CD$ при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса.Радиус большего основания равен абсциссе точки $C$, то есть $R_3 = x_C = a(1+\cos\alpha)$.Радиус меньшего основания равен абсциссе точки $D$, то есть $r_3 = x_D = a$.Образующая равна длине стороны ромба, $l = a$.Площадь этой поверхности:$S_3 = \pi (R_3+r_3) l = \pi (a(1+\cos\alpha) + a) a = \pi a^2 (1+\cos\alpha+1) = \pi a^2 (2+\cos\alpha)$.Это внешняя поверхность тела вращения.

4. Поверхность, образованная вращением стороны DA
Сторона $DA$ лежит на оси $Ox$. При вращении она образует круг (диск) радиусом $R_4 = x_D = a$.Площадь этого круга:$S_4 = \pi R_4^2 = \pi a^2$.Это нижняя поверхность тела вращения.

Общая площадь поверхности тела вращения
Полная площадь поверхности $S$ равна сумме площадей всех четырех образованных поверхностей:$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$$S = \pi a^2 \cos\alpha + \pi a^2 (1 + 2\cos\alpha) + \pi a^2 (2+\cos\alpha) + \pi a^2$$S = \pi a^2 (\cos\alpha + 1 + 2\cos\alpha + 2 + \cos\alpha + 1)$$S = \pi a^2 (4\cos\alpha + 4) = 4\pi a^2 (1 + \cos\alpha)$Используя формулу двойного угла $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$, можно также записать ответ в виде $S = 8\pi a^2 \cos^2(\alpha/2)$.

Ответ: $4\pi a^2 (1 + \cos\alpha)$.