Номер 23, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 23, страница 85.

Условие.

10.23. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и противолежащим ему углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла перпендикулярно боковой стороне треугольника. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $BC=a$, боковыми сторонами $AB=AC=b$ и углом при вершине $\angle BAC = \alpha$.

По условию, треугольник вращается вокруг прямой $L$, которая проходит через вершину $A$ и перпендикулярна боковой стороне $AC$.

Тело вращения состоит из двух частей, образованных вращением боковой стороны $AB$ и основания $BC$.

1. Вращение стороны $AB$ образует боковую поверхность конуса. Вершина этого конуса находится в точке $A$. Образующая конуса равна длине стороны $AB$, то есть $l_1 = b$. Радиус основания этого конуса $r_1$ равен расстоянию от точки $B$ до оси вращения $L$. Поскольку ось $L$ перпендикулярна $AC$ в точке $A$, угол между $AB$ и осью $L$ равен $90^\circ - \alpha$. Таким образом, радиус $r_1 = b \sin(90^\circ - \alpha) = b \cos \alpha$.Площадь боковой поверхности этого конуса $S_1$ равна:$S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi (b \cos \alpha) b = \pi b^2 \cos \alpha$.

2. Вращение основания $BC$ образует боковую поверхность усеченного конуса. Образующая этого усеченного конуса равна длине основания $BC$, то есть $l_2 = a$. Радиусы оснований усеченного конуса равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения $L$.Радиус, соответствующий точке $B$, равен $r_1 = b \cos \alpha$.Радиус, соответствующий точке $C$, равен расстоянию от $C$ до прямой $L$. Так как $L$ проходит через $A$ и перпендикулярна $AC$, это расстояние равно длине отрезка $AC$, то есть $r_2 = b$.Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_2$ равна:$S_2 = \pi (r_1 + r_2) l_2 = \pi (b \cos \alpha + b) a = \pi a b (1 + \cos \alpha)$.

Общая площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:$S = S_1 + S_2 = \pi b^2 \cos \alpha + \pi a b (1 + \cos \alpha)$.

Теперь выразим длину боковой стороны $b$ через длину основания $a$ и угол $\alpha$. Углы при основании треугольника $ABC$ равны $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.По теореме синусов для треугольника $ABC$:$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies b = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{a \sin(90^\circ - \alpha/2)}{\sin \alpha} = \frac{a \cos(\alpha/2)}{\sin \alpha}$.Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$, получаем:$b = \frac{a \cos(\alpha/2)}{2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)} = \frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}$.

Подставим выражение для $b$ в формулу для площади $S$:$S = \pi \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}\right)^2 \cos \alpha + \pi a \left(\frac{a}{2 \sin(\alpha/2)}\right) (1 + \cos \alpha)$$S = \pi \frac{a^2 \cos \alpha}{4 \sin^2(\alpha/2)} + \pi \frac{a^2 (1 + \cos \alpha)}{2 \sin(\alpha/2)}$Приведем к общему знаменателю $4 \sin^2(\alpha/2)$:$S = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha/2)} (\cos \alpha + 2 \sin(\alpha/2)(1 + \cos \alpha))$Используем формулы двойного угла: $\cos \alpha = \cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\alpha/2)$.Выражение в скобках примет вид:$\cos \alpha + 2 \sin(\alpha/2)(1 + \cos \alpha) = \cos \alpha + 2 \sin(\alpha/2) \cdot 2 \cos^2(\alpha/2) = \cos \alpha + 4 \sin(\alpha/2) \cos^2(\alpha/2)$.$4 \sin(\alpha/2) \cos^2(\alpha/2) = 2 \cos(\alpha/2) \cdot (2 \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)) = 2 \cos(\alpha/2) \sin \alpha$.Таким образом, окончательное выражение для площади поверхности:$S = \frac{\pi a^2 (\cos \alpha + 2 \sin \alpha \cos(\alpha/2))}{4 \sin^2(\alpha/2)}$.Также можно использовать $4 \sin^2(\alpha/2) = 2(1-\cos\alpha)$:$S = \frac{\pi a^2 (\cos \alpha + 2 \sin \alpha \cos(\alpha/2))}{2(1-\cos\alpha)}$.

Ответ: $\frac{\pi a^2 (\cos \alpha + 2 \sin \alpha \cos(\alpha/2))}{4 \sin^2(\alpha/2)}$