Номер 27, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 27, страница 86.

Условие.

10.27. Основание прямой призмы – равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом $120^\circ$. Угол между диагоналями равных боковых граней, проведёнными из одной вершины верхнего основания, равен $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$.

По условию, в $\triangle ABC$ боковые стороны $AB = BC = 8$ см, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$.Найдем длину основания $AC$ этого треугольника, используя теорему косинусов:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:$AC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2}) = 128 + 64 = 192$$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Призма является прямой, следовательно, ее боковые грани — прямоугольники. Так как $AB = BC$, то боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равны.Рассмотрим диагонали этих равных граней, проведенные из одной вершины верхнего основания, например, из вершины $B_1$. Это будут диагонали $B_1A$ и $B_1C$.По условию, угол между этими диагоналями равен $90^\circ$, то есть $\angle AB_1C = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C$. Он является прямоугольным. Его стороны — это диагонали $B_1A$, $B_1C$ и сторона основания $AC$.Так как грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ равны, то их диагонали $B_1A$ и $B_1C$ также равны. Следовательно, $\triangle AB_1C$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.По теореме Пифагора для $\triangle AB_1C$:$B_1A^2 + B_1C^2 = AC^2$$2 \cdot B_1A^2 = AC^2$Подставим ранее найденное значение $AC^2 = 192$:$2 \cdot B_1A^2 = 192$$B_1A^2 = 96$

Теперь найдем высоту призмы $H$. Высота призмы равна длине бокового ребра, например, $AA_1$.Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$, которая является прямоугольником. Диагональ этой грани $B_1A$. По теореме Пифагора для $\triangle A_1B_1A$:$B_1A^2 = A_1B_1^2 + AA_1^2$Так как $A_1B_1 = AB = 8$ см и $AA_1 = H$, получаем:$96 = 8^2 + H^2$$96 = 64 + H^2$$H^2 = 96 - 64 = 32$$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.Найдем периметр основания $\triangle ABC$:$P_{осн} = AB + BC + AC = 8 + 8 + 8\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:$S_{бок} = (16 + 8\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{2} = 16 \cdot 4\sqrt{2} + 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см².Можно вынести общий множитель: $S_{бок} = 32(2\sqrt{2} + \sqrt{6})$ см².

Ответ: $64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см².