Номер 25, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 25, страница 86.

Условие.

10.25. Найтите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти площадь круга, вписанного в треугольник, нужно сначала определить его радиус. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус.

Радиус вписанного в треугольник круга можно найти по формуле, связывающей его с площадью и полупериметром треугольника: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Стороны треугольника равны $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см.

1. Вычислим полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S_{\triangle}$ по формуле Герона, так как известны все три стороны:

$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Подставим наши значения:

$S_{\triangle} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = \sqrt{576}$

$S_{\triangle} = 24$ см$^2$.

3. Теперь найдем радиус вписанного круга $r$:

$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

4. Наконец, найдем площадь вписанного круга:

$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot (1,5)^2 = \pi \cdot 2,25 = 2,25\pi$ см$^2$.

Ответ: $2,25\pi$ см$^2$.