Номер 21, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 85.

Условие.

10.21. Радиусы оснований усеченного конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Через две образующие проведена плоскость, пересекающая основания усечённого конуса по хордам, стягивающим дуги $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), и образующая с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь образовавшегося сечения усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим эту трапецию как $ABCD$, где $AB$ — хорда большего основания, а $CD$ — хорда меньшего основания. $AC$ и $BD$ — образующие конуса.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — ее высота.

1. Найдем длины оснований трапеции (хорд).

Основания трапеции — это хорды в основаниях усеченного конуса, стягивающие дуги величиной $\alpha$. Длину хорды в окружности радиуса $R_0$, стягивающей центральный угол $\alpha$, можно найти по формуле $2R_0 \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Для большего основания с радиусом $R$, длина хорды $a$ (сторона $AB$) равна:$a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

Для меньшего основания с радиусом $r$, длина хорды $b$ (сторона $CD$) равна:$b = 2r \sin(\frac{\alpha}{2})$

2. Найдем высоту трапеции.

Высотой трапеции $ABCD$ является отрезок $MN$, соединяющий середины ее оснований $AB$ и $CD$. Угол $\beta$ — это двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Этот угол равен углу между высотой трапеции $MN$ и ее проекцией $MN'$ на плоскость большего основания.

Найдем длину проекции высоты $MN'$. Эта проекция равна разности расстояний от центров оснований до соответствующих хорд. Расстояние от центра окружности радиуса $R_0$ до хорды, стягивающей дугу $\alpha$, равно $R_0 \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Расстояние от центра большего основания до хорды $AB$ равно $d_R = R \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Расстояние от центра меньшего основания до хорды $CD$ равно $d_r = r \cos(\frac{\alpha}{2})$.

Длина проекции высоты трапеции на плоскость основания:$h_{proj} = MN' = d_R - d_r = R \cos(\frac{\alpha}{2}) - r \cos(\frac{\alpha}{2}) = (R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})$

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции $h = MN$, ее проекцией $h_{proj} = MN'$ и высотой усеченного конуса, следует, что:$\cos(\beta) = \frac{h_{proj}}{h}$

Отсюда выразим высоту трапеции $h$:$h = \frac{h_{proj}}{\cos(\beta)} = \frac{(R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь сечения.

Подставим найденные выражения для оснований $a, b$ и высоты $h$ в формулу площади трапеции:$S = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2}) + 2r \sin(\frac{\alpha}{2})}{2} \cdot \frac{(R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

$S = (R+r)\sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{(R-r)\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

$S = \frac{(R+r)(R-r) \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\beta)}$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, откуда $\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha)}{2}$:$S = \frac{(R^2-r^2) \frac{\sin(\alpha)}{2}}{\cos(\beta)} = \frac{(R^2-r^2)\sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$

Ответ: Площадь образовавшегося сечения усеченного конуса равна $\frac{(R^2-r^2)\sin(\alpha)}{2\cos(\beta)}$.