Номер 16, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 16, страница 84.

Условие.

10.16. В усечённом конусе проведено осевое сечение $MM_1N_1N$ и по разные стороны от него на окружностях оснований выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.10). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1$.

Рис. 10.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $MM_1N_1N$ воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Обозначим плоскость нижнего основания как $\alpha$, а плоскость верхнего основания как $\beta$. Плоскость осевого сечения обозначим $\gamma = (MM_1N_1N)$.

Построение

1. Спроецируем точку $B$, лежащую в плоскости верхнего основания $\beta$, на плоскость нижнего основания $\alpha$. Для этого проведем прямую через точку $B$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Точку пересечения этой прямой с плоскостью $\alpha$ назовем $B'$.
2. В плоскости нижнего основания $\alpha$ лежат точки $A$ и $B'$. Проведем через них прямую $AB'$.
3. Плоскость осевого сечения $\gamma$ пересекает плоскость нижнего основания $\alpha$ по диаметру $MN$.
4. Найдем точку пересечения прямых $AB'$ и $MN$ в плоскости $\alpha$. Обозначим эту точку $K$. Поскольку точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости сечения $\gamma$, их проекции $A$ и $B'$ на плоскость $\alpha$ также будут лежать по разные стороны от прямой $MN$. Следовательно, прямые $AB'$ и $MN$ пересекутся.
5. Проведем через точку $K$ прямую $l$, перпендикулярную плоскости основания $\alpha$ (т.е. параллельную оси конуса). Эта прямая $l$ будет лежать в плоскости осевого сечения $\gamma$.
6. Прямая $AB$ и прямая $l$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(ABB')$, так как $A$, $B$ лежат в этой плоскости, и прямая $l$ проходит через точку $K$ на прямой $AB'$ и параллельна $BB'$. Следовательно, прямые $AB$ и $l$ пересекаются.
7. Точка пересечения прямых $AB$ и $l$ является искомой точкой. Обозначим ее $X$.

Обоснование

Построенная точка $X$ является искомой точкой пересечения прямой $AB$ с плоскостью $MM_1N_1N$.

• Точка $X$ принадлежит прямой $AB$ по построению (как точка пересечения $AB$ с прямой $l$).
• Точка $X$ принадлежит плоскости $MM_1N_1N$. Это следует из того, что $X$ лежит на прямой $l$. Прямая $l$ проходит через точку $K$, которая лежит на диаметре $MN$ (линии пересечения плоскости сечения с нижним основанием), и параллельна оси конуса, которая также лежит в плоскости сечения. Таким образом, вся прямая $l$ целиком лежит в плоскости осевого сечения $MM_1N_1N$.

Следовательно, $X$ — единственная точка, принадлежащая одновременно и прямой $AB$, и плоскости $MM_1N_1N$.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $AB$ и прямой $l$, построенной в плоскости осевого сечения $MM_1N_1N$ перпендикулярно основанию через точку $K$, где $K$ — это точка пересечения диаметра $MN$ с прямой $AB'$, а $B'$ — ортогональная проекция точки $B$ на плоскость нижнего основания.