Номер 13, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 84.

Условие.

10.13. Радиус большего основания усечённого конуса равен $R$, радиус меньшего основания – $r$, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции служат диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса.

Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — её высота. Тогда:

• Большее основание трапеции $a = 2R$.
• Меньшее основание трапеции $b = 2r$.
• Высота трапеции $h$ равна высоте усечённого конуса.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим значения оснований:

$S = \frac{2R+2r}{2} \cdot h = (R+r)h$

Теперь найдём высоту $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усечённого конуса $h$, его образующей $l$ и проекцией образующей на плоскость большего основания. Проекция образующей на плоскость большего основания равна разности радиусов оснований, то есть $R-r$.

В этом прямоугольном треугольнике:

• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $R-r$.
• Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте $h$.

Угол $\alpha$ — это угол между образующей и плоскостью большего основания.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{R-r}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = (R-r) \cdot \tan(\alpha)$

Подставим найденное выражение для $h$ в формулу площади осевого сечения:

$S = (R+r) \cdot (R-r) \cdot \tan(\alpha)$

Применяя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, получаем:

$S = (R^2 - r^2) \tan(\alpha)$

Ответ: $S = (R^2 - r^2) \tan(\alpha)$.