Номер 8, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 84.

Условие.

10.8. Дана трапеция $ABCD$ такая, что $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $AB = 6\sqrt{3}$ см, $BC = 2$ см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, полученного в результате вращения данной трапеции вокруг прямой $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В результате вращения данной прямоугольной трапеции $ABCD$ вокруг её боковой стороны $AB$, перпендикулярной основаниям, образуется усечённый конус. Элементы этого конуса определяются размерами трапеции:

• Высота конуса $H$ равна длине стороны $AB$.
• Радиус меньшего основания $r$ равен длине верхнего основания трапеции $BC$.
• Радиус большего основания $R$ равен длине нижнего основания трапеции $AD$.
• Образующая конуса $l$ равна длине боковой стороны $CD$.

По условию нам дано: $AB = 6\sqrt{3} \text{ см}$, $BC = 2 \text{ см}$, $\angle D = 60^\circ$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$.

Нам известны $r = BC = 2 \text{ см}$. Необходимо найти $R=AD$ и $l=CD$.

Для этого опустим высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. В полученной фигуре $ABCE$ является прямоугольником, так как $AB \perp AD$ и $CE \perp AD$, а $BC \parallel AD$. Следовательно:

$CE = AB = 6\sqrt{3} \text{ см}$

$AE = BC = 2 \text{ см}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ ($\angle E = 90^\circ$). В этом треугольнике мы знаем катет $CE = 6\sqrt{3} \text{ см}$ и угол $\angle D = 60^\circ$.

1. Найдём образующую $l = CD$.

В треугольнике $CED$ сторона $CD$ является гипотенузой. Используем синус угла $D$:

$\sin(\angle D) = \frac{CE}{CD}$

$l = CD = \frac{CE}{\sin(60^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12 \text{ см}$.

2. Найдём радиус большего основания $R = AD$.

Сначала найдём длину отрезка $ED$ в треугольнике $CED$. Используем тангенс угла $D$:

$\tan(\angle D) = \frac{CE}{ED}$

$ED = \frac{CE}{\tan(60^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см}$.

Радиус большего основания $R$ равен длине $AD$, которую можно найти как сумму длин отрезков $AE$ и $ED$:

$R = AD = AE + ED = 2 + 6 = 8 \text{ см}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Теперь у нас есть все необходимые значения:

$r = 2 \text{ см}$

$R = 8 \text{ см}$

$l = 12 \text{ см}$

Подставляем их в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(8+2) \cdot 12 = \pi \cdot 10 \cdot 12 = 120\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $120\pi \text{ см}^2$.