Номер 1, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 1, страница 83.

Условие.

10.1. Точка $M$ – вершина конуса, точка $O$ – центр его основания. Радиус основания конуса равен 18 см. На отрезке $MO$ отмечена точка $K$ так, что $MK : KO = 4 : 5$. Через точку $K$ проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, подобный исходному. Сечением является круг. Обозначим радиус основания исходного конуса как $R$, а радиус сечения как $r$. Площадь сечения $S_{сеч}$ можно найти по формуле площади круга: $S_{сеч} = \pi r^2$.

Для нахождения радиуса сечения $r$ воспользуемся подобием. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника — это высота конуса $MO$. Секущая плоскость пересекает осевое сечение по отрезку, параллельному основанию треугольника. В результате образуются два подобных треугольника.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников (а также исходного и малого конусов) равен отношению их высот. Высота большого конуса — $MO$, высота малого конуса — $MK$.

По условию задачи, точка $K$ делит отрезок $MO$ в отношении $MK : KO = 4 : 5$.Пусть $MK = 4x$, а $KO = 5x$. Тогда вся высота $MO = MK + KO = 4x + 5x = 9x$.

Найдем коэффициент подобия $k$:$k = \frac{\text{высота малого конуса}}{\text{высота большого конуса}} = \frac{MK}{MO} = \frac{4x}{9x} = \frac{4}{9}$.

Отношение радиусов сечения и основания также равно коэффициенту подобия:$\frac{r}{R} = k = \frac{4}{9}$.

Радиус основания конуса по условию равен $R = 18$ см. Найдем радиус сечения $r$:$\frac{r}{18} = \frac{4}{9}$$r = 18 \cdot \frac{4}{9} = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь образовавшегося сечения:$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см$^2$.

Ответ: $64\pi$ см$^2$.