Номер 37, страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 37, страница 80.

Условие.

9.37. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $30^\circ$ при основании и боковой стороной 12 см. Все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$, а вершиной – точка $S$. По условию, боковые стороны основания $AB = BC = 12$ см, а углы при основании $AC$ равны $\angle BAC = \angle BCA = 30^\circ$.

Все боковые рёбра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$) образуют с плоскостью основания один и тот же угол, равный $60^\circ$. Это свойство означает, что высота пирамиды $SO$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около треугольника основания $ABC$. Таким образом, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ равны радиусу $R$ этой описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $SA$, его проекцией $OA$ на плоскость основания и высотой пирамиды $SO$. В этом треугольнике $\triangle SOA$, катет $SO$ является высотой пирамиды $H$, катет $OA$ – радиусом описанной окружности $R$, а угол $\angle SAO$ – это угол между боковым ребром и плоскостью основания, т.е. $\angle SAO = 60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ имеем:

$\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{OA} \implies H = R \cdot \tan(60^\circ)$

Для нахождения высоты $H$ необходимо сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Нам известна сторона $BC = 12$ см и противолежащий ей угол $\angle BAC = 30^\circ$. Подставим эти значения:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{12}{\sin(30^\circ)}$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2R = \frac{12}{1/2} = 24$ см

Следовательно, радиус описанной окружности $R = 12$ см.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = R \cdot \tan(60^\circ) = 12 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.