Номер 32, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 32, страница 79.

Условие.

9.32. Отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ – образующие конуса, причём $MA \perp MB$, $MB \perp MC$, $MA \perp MC$, $MA = 3$ см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи, отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются образующими конуса. Длины всех образующих конуса равны. Обозначим длину образующей как $l$. Таким образом, $l = MA = MB = MC$.

Из условия известно, что $MA = 3$ см, следовательно, длина образующей конуса $l = 3$ см.

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания конуса. Следовательно, радиус основания конуса $R$ является радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Чтобы найти $R$, сначала найдем стороны треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольники $MAB$, $MBC$ и $MAC$. Так как образующие попарно перпендикулярны ($MA \perp MB$, $MB \perp MC$, $MA \perp MC$), эти треугольники являются прямоугольными и равнобедренными, поскольку их катеты — это равные по длине образующие.

Найдем длины сторон треугольника $ABC$, которые являются гипотенузами в этих прямоугольных треугольниках, по теореме Пифагора:

В $\triangle MAB$ ($MA = MB = 3$ см):
$AB^2 = MA^2 + MB^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MBC$ ($MB = MC = 3$ см):
$BC^2 = MB^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$
$BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

В $\triangle MAC$ ($MA = MC = 3$ см):
$AC^2 = MA^2 + MC^2 = 3^2 + 3^2 = 18$
$AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

Поскольку $AB = BC = AC = 3\sqrt{2}$ см, треугольник $ABC$ является равносторонним.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим значение стороны $a = 3\sqrt{2}$ см:
$R = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$.
Подставим найденные значения радиуса основания $R = \sqrt{6}$ см и длины образующей $l = 3$ см:
$S_{бок} = \pi \cdot \sqrt{6} \cdot 3 = 3\pi\sqrt{6}$ $см^2$.

Ответ: $3\pi\sqrt{6}$ $см^2$.