Номер 28, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 79.

Условие.

9.28. Через две образующие конуса проведена плоскость, образующая с плоскостью основания конуса угол $\alpha$. Расстояние от центра основания конуса до этой плоскости равно $a$, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $\beta$. Найдите радиус основания конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим вершину конуса как $S$, центр его основания как $O$, а радиус основания как $R$. Пусть $H = SO$ — высота конуса.

Секущая плоскость проходит через две образующие $SA$ и $SB$ и пересекает плоскость основания по хорде $AB$.

Угол $\alpha$ между секущей плоскостью и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его измерения построим линейный угол. Проведём высоту $SM$ в равнобедренном треугольнике $SAB$. Точка $M$ является серединой хорды $AB$. В плоскости основания соединим точки $O$ и $M$. Так как треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB=R$), его медиана $OM$ является также и высотой, то есть $OM \perp AB$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, и по условию $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $SMO$. Так как $SO$ — высота конуса, то $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит $SO \perp OM$. Следовательно, треугольник $SMO$ — прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$).

Расстояние от центра основания $O$ до секущей плоскости $(SAB)$ равно $a$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $(SAB)$. Поскольку плоскость $(SMO)$ перпендикулярна линии пересечения плоскостей $AB$, этот перпендикуляр лежит в плоскости $(SMO)$. Опустим перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на прямую $SM$. Так как $OK \perp SM$ и $OK \perp AB$ (поскольку $AB \perp$ пл. $SMO$), то $OK$ перпендикулярен плоскости $(SAB)$, и его длина равна $a$, то есть $OK=a$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OKM$, который образовался внутри треугольника $SMO$. В этом треугольнике ($\angle OKM = 90^\circ$) гипотенузой является $OM$, а катет $OK$ лежит против угла $\angle OMK = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$ \sin \alpha = \frac{OK}{OM} = \frac{a}{OM} $Отсюда выразим $OM$:$ OM = \frac{a}{\sin \alpha} $

Вернемся к прямоугольному треугольнику $SMO$. Из него мы можем найти высоту конуса $H = SO$:$ \tan \alpha = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM} $$ H = OM \cdot \tan \alpha $Подставим найденное выражение для $OM$:$ H = \frac{a}{\sin \alpha} \cdot \tan \alpha = \frac{a}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a}{\cos \alpha} $

Угол $\beta$ между образующей конуса и плоскостью основания — это угол между образующей (например, $SA$) и её проекцией на плоскость основания (радиусом $OA$). Таким образом, $\angle SAO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$ ($\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике катеты — это высота конуса $SO = H$ и радиус основания $OA = R$. Из определения тангенса угла $\beta$:$ \tan \beta = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} $

Из этого соотношения выразим искомый радиус $R$:$ R = \frac{H}{\tan \beta} $

Подставим найденное ранее выражение для высоты $H$:$ R = \frac{a/\cos \alpha}{\tan \beta} = \frac{a}{\cos \alpha \cdot \tan \beta} $

Ответ: $ R = \frac{a}{\cos \alpha \tan \beta} $.