Номер 31, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 79.

Условие.

9.31. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $\alpha$, проведено сечение. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна $H$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса, которая вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей. Нам даны высота конуса $H$, угол $\alpha$ между двумя образующими, образующими сечение, и угол $\beta$ между плоскостью сечения и плоскостью основания.

1. Введем обозначения и построим геометрическую модель.
Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $SO = H$ — высота конуса. Пусть $SA$ и $SB$ — две образующие, угол между которыми равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Плоскость сечения — это плоскость треугольника $SAB$. Треугольник $SAB$ является равнобедренным, так как $SA = SB = L$ (образующие конуса).

2. Найдем связь между данными углами и элементами конуса.
Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Для его измерения проведем высоту $SM$ в треугольнике $SAB$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина хорды $AB$, и $SM \perp AB$.
В плоскости основания соединим точки $O$ и $M$. Так как $OA=OB=R$ (радиусы), $\triangle OAB$ также равнобедренный, и его медиана $OM$ является высотой, то есть $OM \perp AB$.
Таким образом, угол между плоскостями $(SAB)$ и основанием равен углу между прямыми $SM$ и $OM$, то есть $\angle SMO = \beta$.

3. Выразим образующую $L$ и радиус $R$ через $H$, $\alpha$ и $\beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ — высота конуса). В этом треугольнике: $SO = H$ (катет) $\angle SMO = \beta$ Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим высоту сечения $SM$: $\sin(\beta) = \frac{SO}{SM} = \frac{H}{SM} \implies SM = \frac{H}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $SAB$. Его высота $SM$ делит угол $\angle ASB$ пополам, поэтому $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SMA$ (угол $\angle SMA = 90^\circ$): $SA = L$ (гипотенуза) $SM$ (катет) Из этого треугольника выразим образующую $L$: $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{SM}{SA} = \frac{SM}{L} \implies L = \frac{SM}{\cos(\alpha/2)}$ Подставив найденное значение $SM$, получаем: $L = \frac{H/\sin(\beta)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)}$

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся основной формулой для конуса, связывающей высоту, радиус и образующую: $L^2 = H^2 + R^2$. Отсюда $R^2 = L^2 - H^2$. $R^2 = \left(\frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)}\right)^2 - H^2 = \frac{H^2}{\sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)} - H^2$ $R^2 = H^2 \left(\frac{1}{\sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)} - 1\right) = H^2 \frac{1 - \sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)}{\sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)}$ Найдем радиус $R$: $R = \frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)} \sqrt{1 - \sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)}$ Можно упростить выражение под корнем, используя основное тригонометрическое тождество: $1 - \sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2) = (\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)) - \sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2) = \sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)(1-\sin^2(\beta)) = \sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)\cos^2(\beta)$. Тогда: $R = \frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)} \sqrt{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)\cos^2(\beta)}$

4. Найдем площадь боковой поверхности конуса.
Подставим выражения для $R$ и $L$ в формулу $S_{бок} = \pi R L$: $S_{бок} = \pi \left( \frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)} \sqrt{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)\cos^2(\beta)} \right) \left( \frac{H}{\sin(\beta) \cos(\alpha/2)} \right)$ $S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)} \sqrt{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)\cos^2(\beta)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi H^2 \sqrt{\sin^2(\alpha/2) + \cos^2(\alpha/2)\cos^2(\beta)}}{\sin^2(\beta) \cos^2(\alpha/2)}$