Номер 30, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 79.

Условие.

9.30. Через две образующие конуса проведено сечение, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен $ \alpha $. Угол между образующей и плоскостью основания равен $ \beta $, а радиус основания конуса равен $ R $. Найдите площадь этого сечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим вершину конуса как $S$, а центр основания — как $O$. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$, где $A$ и $B$ — точки на окружности основания.

Пусть $l$ — длина образующей ($SA = SB = l$), $H$ — высота конуса ($SO = H$), $R$ — радиус основания ($OA = OB = R$).

1. Найдём высоту конуса H.
Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между образующей $SA$ и её проекцией $OA$ на плоскость основания. По условию, $\angle SAO = \beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (катет $SO$ — высота конуса, катет $OA$ — радиус основания). Из определения тангенса: $ \tan \beta = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R} $ Отсюда высота конуса: $ H = R \tan \beta $

2. Найдём элементы, связанные с сечением.
Проведём высоту $SM$ в треугольнике $SAB$. Поскольку $\triangle SAB$ равнобедренный, $M$ является серединой хорды $AB$. В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OM$ является медианой и высотой, следовательно, $OM \perp AB$. Угол между плоскостью сечения $SAB$ и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Так как $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$, то $\angle SMO$ и есть этот угол. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (катет $SO$ — высота конуса). Из этого треугольника мы можем выразить $OM$ и высоту сечения $SM$: $ \tan \alpha = \frac{SO}{OM} \implies OM = \frac{SO}{\tan \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\tan \alpha} $ $ \sin \alpha = \frac{SO}{SM} \implies SM = \frac{SO}{\sin \alpha} = \frac{R \tan \beta}{\sin \alpha} $

3. Найдём основание сечения AB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAM$, который лежит в плоскости основания конуса. По теореме Пифагора $AM^2 + OM^2 = OA^2$. $ AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R \tan \beta}{\tan \alpha}\right)^2} $ $ AM = R \sqrt{1 - \frac{\tan^2 \beta}{\tan^2 \alpha}} = R \frac{\sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\tan \alpha} $ Длина основания сечения $AB$ равна $2 \cdot AM$: $ AB = 2R \frac{\sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\tan \alpha} $

4. Найдём площадь сечения.
Площадь треугольника $SAB$ равна половине произведения его основания $AB$ на высоту $SM$: $ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM $ Подставим найденные выражения для $AB$ и $SM$: $ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot \left(2R \frac{\sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\tan \alpha}\right) \cdot \left(\frac{R \tan \beta}{\sin \alpha}\right) $ $ S_{SAB} = R^2 \frac{\tan \beta \sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\tan \alpha \sin \alpha} $ Упростим выражение, используя то, что $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $ S_{SAB} = R^2 \frac{\tan \beta \sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \sin \alpha} = R^2 \frac{\cos \alpha \tan \beta \sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\sin^2 \alpha} $

Ответ: $ \frac{R^2 \cos \alpha \tan \beta \sqrt{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}}{\sin^2 \alpha} $