Номер 22, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 78.

Условие.

9.22. Прямоугольная трапеция с основаниями 3 см и 4 см и острым углом $45^\circ$ вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, у которой боковая сторона $AD$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, углы $\angle A$ и $\angle D$ являются прямыми.

По условию, основания трапеции равны 3 см и 4 см, а острый угол равен $45^\circ$. Поскольку углы $\angle A$ и $\angle D$ прямые, острым может быть либо $\angle B$, либо $\angle C$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$, поэтому если один из углов B или C острый, то другой — тупой. Пусть острым будет угол $\angle B = 45^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. В этом случае большее основание $AB$ должно быть смежно с острым углом. Итак, пусть большее основание $AB = 4$ см, а меньшее основание $CD = 3$ см.

Для нахождения высоты трапеции $h = AD$ проведем высоту $CE$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Получим прямоугольник $AECD$, в котором $AE = CD = 3$ см, а $CE = AD = h$. Отрезок $EB$ на основании $AB$ будет равен $EB = AB - AE = 4 - 3 = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$. Угол $\angle B = 45^\circ$, следовательно, треугольник $CEB$ является равнобедренным, и $CE = EB = 1$ см. Таким образом, высота трапеции $h = 1$ см.Длина наклонной боковой стороны $BC$ находится по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{CE^2 + EB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её меньшее основание $CD$. Тело вращения представляет собой сложную фигуру. Площадь его поверхности складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон $AD$, $AB$ и $BC$. Сторона $CD$ лежит на оси вращения и поверхности не образует.

1. Поверхность, образованная вращением стороны $AD$.
Сторона $AD$ (высота трапеции) перпендикулярна оси вращения $CD$. При вращении она образует круг радиусом $r_1 = AD = 1$ см. Площадь этого круга:$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

2. Поверхность, образованная вращением стороны $AB$.
Сторона $AB$ (большее основание) параллельна оси вращения $CD$ и находится на расстоянии, равном высоте трапеции $h = 1$ см. При вращении она образует боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $R = h = 1$ см, а его высота (длина образующей) равна длине основания $L = AB = 4$ см. Площадь боковой поверхности этого цилиндра:$S_2 = 2\pi R L = 2\pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi$ см$^2$.

3. Поверхность, образованная вращением стороны $BC$.
Наклонная сторона $BC$ при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны расстояниям от точек $B$ и $C$ до оси вращения. Расстояние от точки $B$ до прямой $CD$ равно высоте трапеции, то есть $r_B = h = 1$ см. Точка $C$ лежит на оси вращения, поэтому расстояние от нее до оси равно нулю, $r_C = 0$. Следовательно, фигура вращения является конусом (а не усеченным конусом). Образующая этого конуса равна длине стороны $BC$, то есть $l = \sqrt{2}$ см. Площадь боковой поверхности конуса:$S_3 = \pi r_B l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Общая площадь поверхности тела вращения равна сумме найденных площадей:$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = \pi + 8\pi + \pi\sqrt{2} = 9\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(9 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $S = \pi(9 + \sqrt{2})$ см$^2$.