Номер 19, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 19, страница 78.

Условие.

9.19. Равнобедренный остроугольный треугольник с основанием $a$ и уг-
лом $\alpha$ при основании вращается вокруг прямой, содержащей его бо-ковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны равны: $AB = BC$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону $AB$.

Тело вращения, образованное таким образом, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Первый конус образуется вращением стороны $BC$ вокруг оси $AB$ (вершина в точке $B$), а второй — вращением основания $AC$ вокруг той же оси $AB$ (вершина в точке $A$).

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов: $S = S_1 + S_2$. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ – радиус основания, а $L$ – длина образующей.

Радиус общего основания $R$ для обоих конусов равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения $AB$. Это расстояние равно длине высоты $h_c$, опущенной из вершины $C$ на прямую $AB$. В треугольнике $ABC$ рассмотрим сторону $AC=a$ и прилежащий к ней угол $\angle BAC = \alpha$. Высота $h_c$ из вершины $C$ на сторону $AB$ находится из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой: $R = h_c = AC \cdot \sin(\angle BAC) = a \sin\alpha$.

Теперь найдем длины образующих $L_1$ и $L_2$ для каждого конуса.

Образующая первого конуса, $L_1$, — это сторона $BC$. Чтобы найти ее длину, проведем высоту $BK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BK$ является также медианой, поэтому $CK = \frac{a}{2}$. Из прямоугольного треугольника $BKC$ имеем: $\cos(\angle BCA) = \frac{CK}{BC} \implies \cos\alpha = \frac{a/2}{BC}$. Отсюда $L_1 = BC = \frac{a}{2\cos\alpha}$.

Образующая второго конуса, $L_2$, — это основание треугольника $AC$. $L_2 = AC = a$.

Теперь можем вычислить площади боковых поверхностей конусов.

Площадь боковой поверхности первого конуса (образованного вращением $BC$): $S_1 = \pi R L_1 = \pi (a \sin\alpha) \left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right) = \frac{\pi a^2 \sin\alpha}{2\cos\alpha} = \frac{\pi a^2 \tan\alpha}{2}$.

Площадь боковой поверхности второго конуса (образованного вращением $AC$): $S_2 = \pi R L_2 = \pi (a \sin\alpha) a = \pi a^2 \sin\alpha$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей: $S = S_1 + S_2 = \frac{\pi a^2 \tan\alpha}{2} + \pi a^2 \sin\alpha = \pi a^2 \left( \frac{\tan\alpha}{2} + \sin\alpha \right)$.

Ответ: $S = \pi a^2 \left( \sin\alpha + \frac{\tan\alpha}{2} \right)$.