Номер 21, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 78.

Условие.

9.21. Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 9 см и высотой 4 см вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Прямоугольная трапеция с основаниями $a = 9$ см, $b = 6$ см и высотой $h = 4$ см вращается вокруг прямой, содержащей ее большее основание.

Тело, полученное в результате такого вращения, представляет собой комбинацию двух геометрических тел: цилиндра и конуса, которые соединены по общему основанию.

• Цилиндр образуется при вращении прямоугольника с высотой, равной высоте трапеции ($h=4$ см), и длиной, равной меньшему основанию трапеции ($b=6$ см).
• Конус образуется при вращении прямоугольного треугольника. Один катет этого треугольника равен высоте трапеции ($h=4$ см), а другой катет равен разности длин оснований трапеции ($a-b=9-6=3$ см).

Площадь полной поверхности полученного тела вращения ($S_{полн}$) состоит из суммы трех площадей: площади внешнего основания цилиндра ($S_{осн}$), площади боковой поверхности цилиндра ($S_{бок.цил}$) и площади боковой поверхности конуса ($S_{бок.кон}$).

1. Определим параметры фигур.

Радиус основания как для цилиндра, так и для конуса, равен высоте трапеции: $r = h = 4$ см.

Высота цилиндра равна длине меньшего основания трапеции: $h_{цил} = b = 6$ см.

Высота конуса равна разности длин оснований: $h_{кон} = a - b = 9 - 6 = 3$ см.

Для вычисления площади боковой поверхности конуса необходимо найти длину его образующей ($l$), которая является наклонной стороной трапеции. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образующего конус: $l = \sqrt{r^2 + h_{кон}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

2. Вычислим площади поверхностей.

Площадь основания цилиндра (круга): $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².

Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок.цил} = 2\pi r h_{цил} = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок.кон} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$ см².

3. Найдем общую площадь поверхности.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме найденных площадей: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок.цил} + S_{бок.кон} = 16\pi + 48\pi + 20\pi = 84\pi$ см².

Ответ: $84\pi$ см².