Номер 6, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 6, страница 83.

Условие.

10.6. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 см и 12 см, а высота – 15 см. Найдите образующую усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения образующей усечённого конуса ($l$) необходимо рассмотреть его осевое сечение. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, высота трапеции равна высоте конуса ($h$), а боковые стороны равны его образующей ($l$).

По условию задачи даны:
- радиус большего основания $R = 12$ см;
- радиус меньшего основания $r = 4$ см;
- высота $h = 15$ см.

Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания к большему, то образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет образующая $l$, а катетами — высота конуса $h$ и разность радиусов оснований $R - r$.

Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), можно записать соотношение для наших величин:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Сначала найдём разность радиусов:

$R - r = 12 \text{ см} - 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$l^2 = 15^2 + 8^2$

Выполним вычисления:

$l^2 = 225 + 64$

$l^2 = 289$

Для нахождения длины образующей $l$ извлечём квадратный корень из 289:

$l = \sqrt{289} = 17 \text{ см}$

Ответ: 17 см.