Номер 15, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 84.

Условие.

10.15. В усечённом конусе проведено осевое сечение $CC_1D_1D$ и по разные стороны от него на основаниях конуса выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 10.9). Постройте точку пересечения прямой $AB$ с плоскостью $CC_1D_1$.

Рис. 10.9

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью осевого сечения $(CC_1D_1)$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Идея состоит в том, чтобы провести через прямую $AB$ вспомогательную плоскость, найти её линию пересечения с плоскостью $(CC_1D_1)$, и затем найти точку пересечения прямой $AB$ с этой линией.

Последовательность построения искомой точки:

1. Обозначим плоскость нижнего основания конуса, где лежит точка $A$, через $\pi_1$. Спроецируем точку $B$ на плоскость $\pi_1$ параллельно оси конуса. Получим точку $B'$.
2. В плоскости нижнего основания $\pi_1$ проведем прямую через точки $A$ и $B'$. Эта прямая, $AB'$, является проекцией прямой $AB$ на плоскость нижнего основания.
3. Через прямую $AB$ и её проекцию $AB'$ проходит вспомогательная плоскость $\beta = (ABB')$.
4. Плоскость осевого сечения $(CC_1D_1)$ пересекает плоскость нижнего основания $\pi_1$ по диаметру $CD$.
5. Найдем точку пересечения прямых $AB'$ и $CD$, которые обе лежат в плоскости нижнего основания $\pi_1$. Обозначим эту точку $M$. Таким образом, $M = AB' \cap CD$.
6. Так как точка $M$ лежит на прямой $CD$, она принадлежит плоскости $(CC_1D_1)$. Так как точка $M$ лежит на прямой $AB'$, она принадлежит вспомогательной плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.
7. Ось конуса лежит в плоскости осевого сечения $(CC_1D_1)$. Прямая $BB'$ по построению параллельна оси конуса, следовательно, прямая $BB'$ параллельна плоскости $(CC_1D_1)$.
8. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $BB'$, параллельную плоскости $(CC_1D_1)$. Согласно свойству, линия пересечения таких плоскостей (обозначим её $m$) должна быть параллельна прямой $BB'$ (а значит, и оси конуса).
9. Проведем через точку $M$ прямую $m$ параллельно $BB'$. Эта прямая $m$ и есть линия пересечения плоскостей $(CC_1D_1)$ и $\beta$.
10. Искомая точка пересечения $X$ прямой $AB$ с плоскостью $(CC_1D_1)$ принадлежит как прямой $AB$, так и плоскости $(CC_1D_1)$. Так как $AB \subset \beta$ и $m = (CC_1D_1) \cap \beta$, то точка $X$ должна лежать на пересечении прямых $AB$ и $m$. Эти прямые лежат в одной плоскости $\beta$ и пересекаются, так как $AB$ является наклонной к основаниям, а $m$ им перпендикулярна (или параллельна оси).
11. Строим точку $X = AB \cap m$. Точка $X$ является искомой.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $AB$ и вспомогательной прямой $m$. Прямая $m$ строится следующим образом: она проходит через точку $M$ параллельно оси конуса, где $M$ — это точка пересечения диаметра $CD$ нижнего основания с прямой $AB'$, а $B'$ — проекция точки $B$ на плоскость нижнего основания.