Номер 24, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 10. Усечённый конус. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 85.

Условие.

10.24. Площадь равнобедренного треугольника равна $S$, а угол между его боковыми сторонами равен $\alpha$. Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при его основании перпендикулярно основанию. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = AC = a$ и основанием $BC = b$. Угол между боковыми сторонами $\angle BAC = \alpha$. Площадь треугольника равна $S$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\alpha)$.Отсюда мы можем выразить квадрат боковой стороны:$a^2 = \frac{2S}{\sin(\alpha)}$.

Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.Проведем высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $BH = HC = b/2$. Из прямоугольного треугольника $AHC$ имеем:$\sin(\angle HAC) = \frac{HC}{AC} \implies \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{b/2}{a}$.Отсюда выразим основание $b$ через боковую сторону $a$:$b = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину угла при основании (пусть это будет вершина $C$) перпендикулярно основанию $BC$. Введем систему координат так, чтобы вершина $C$ находилась в начале координат $(0,0)$, основание $BC$ лежало на оси $Ox$ (тогда точка $B$ будет иметь координату $(-b, 0)$), а ось вращения совпадала с осью $Oy$.

Найдем координаты вершины $A$. Ее проекция на основание $BC$ — это точка $H$, середина $BC$. Координаты $H$: $(-b/2, 0)$. Высота треугольника $AH$ равна $h = a \cos(\frac{\alpha}{2})$. Таким образом, координаты вершины $A$: $(-b/2, h)$.

Поверхность тела вращения состоит из трех частей:

1. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $AC$. Это боковая поверхность конуса с вершиной в точке $C$, радиусом основания, равным расстоянию от точки $A$ до оси вращения (то есть $|x_A| = b/2$), и образующей, равной $a$. Площадь этой поверхности $S_1 = \pi \cdot (b/2) \cdot a = \frac{1}{2}\pi ab$.
2. Поверхность, образованная вращением боковой стороны $AB$. Это боковая поверхность усеченного конуса с радиусами оснований, равными расстояниям от точек $A$ и $B$ до оси вращения ($r_A = b/2$, $r_B = b$), и образующей, равной $a$. Площадь этой поверхности $S_2 = \pi (r_A + r_B) a = \pi (\frac{b}{2} + b) a = \frac{3}{2}\pi ab$.
3. Поверхность, образованная вращением основания $BC$. Это круг (диск) с радиусом $b$, так как точка $C$ лежит на оси вращения. Площадь этой поверхности $S_3 = \pi b^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$ равна сумме площадей этих трех поверхностей:$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}\pi ab + \frac{3}{2}\pi ab + \pi b^2 = 2\pi ab + \pi b^2 = \pi b(2a+b)$.

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ через $S$ и $\alpha$. Сначала выразим $S_{пов}$ через $a$ и $\alpha$:$S_{пов} = \pi (2a \sin(\frac{\alpha}{2})) (2a + 2a \sin(\frac{\alpha}{2})) = 4\pi a^2 \sin(\frac{\alpha}{2}) (1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Теперь заменим $a^2$ на $\frac{2S}{\sin(\alpha)}$:$S_{пов} = 4\pi \left(\frac{2S}{\sin(\alpha)}\right) \sin(\frac{\alpha}{2}) (1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.$S_{пов} = 4\pi \left(\frac{2S}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}\right) \sin(\frac{\alpha}{2}) (1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Сокращаем $\sin(\frac{\alpha}{2})$:$S_{пов} = \frac{4\pi S (1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $S_{пов} = \frac{4\pi S (1 + \sin(\alpha/2))}{\cos(\alpha/2)}$