Номер 3, страница 77 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 9. Конус. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 77.

Условие.

9.3. Найдите высоту и радиус основания конуса, если его образующая равна 18 см, а осевое сечение конуса – правильный треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания. По условию, это сечение является правильным (равносторонним) треугольником. Это означает, что все его стороны равны.

Так как образующая конуса ($l$) равна 18 см, то и две другие стороны треугольника, включая диаметр основания ($d$), также равны 18 см.

Высота

Высота конуса ($h$) совпадает с высотой его осевого сечения, то есть с высотой равностороннего треугольника со стороной $a = 18$ см. Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значение стороны:
$h = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.
Другой способ — через теорему Пифагора. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник. Сначала найдем радиус: $r = d/2 = 18/2 = 9$ см. Тогда:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$ см.
Ответ: $9\sqrt{3}$ см.

Радиус основания

Диаметр основания конуса ($d$) равен стороне равностороннего треугольника в осевом сечении, следовательно, $d = 18$ см. Радиус основания ($r$) равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Ответ: 9 см.