Номер 7, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 100.

Условие.

13.7. Докажите, что если плоскость $\alpha$ пересекает сферу с центром в точке $O$ по окружности с центром в точке $O_1$, то $OO_1 \perp \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и плоскость $\alpha$, пересекающая сферу. По условию, сечением является окружность с центром в точке $O_1$. Требуется доказать, что прямая $OO_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для доказательства опустим из центра сферы $O$ перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. По определению, прямая $OH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($OH \perp \alpha$). Наша задача — доказать, что точка $H$ совпадает с точкой $O_1$.

Возьмем любую точку $A$, которая лежит на линии пересечения сферы и плоскости $\alpha$. Поскольку точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, а $OH \perp \alpha$, то прямая $OH$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $H$. В частности, $OH$ перпендикулярна прямой $HA$. Следовательно, треугольник $\triangle OHA$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $H$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OHA$ имеем: $OA^2 = OH^2 + HA^2$.

Так как точка $A$ лежит на сфере, расстояние $OA$ равно радиусу сферы $R$. Расстояние $OH$ от центра сферы до плоскости является постоянной величиной для данной сферы и плоскости. Из теоремы Пифагора выразим квадрат расстояния $HA$:

$HA^2 = OA^2 - OH^2 = R^2 - OH^2$.

Поскольку величины $R$ и $OH$ постоянны, то и длина отрезка $HA$ является постоянной для любой точки $A$, взятой на линии пересечения. Это означает, что все точки пересечения сферы и плоскости $\alpha$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $H$ в плоскости $\alpha$.

По определению, геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки (в нашем случае $H$), есть окружность с центром в этой точке. Таким образом, мы доказали, что сечение сферы плоскостью $\alpha$ представляет собой окружность с центром в точке $H$.

По условию задачи, центром этой окружности является точка $O_1$. Следовательно, точка $H$ должна совпадать с точкой $O_1$.

Так как $H = O_1$ и по построению $OH \perp \alpha$, то мы доказали, что $OO_1 \perp \alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $OO_1$, соединяющая центр сферы и центр окружности сечения, перпендикулярна плоскости $\alpha$.