Номер 12, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 12, страница 100.

Условие.

13.12. Докажите, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим два произвольных сечения этой сферы плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$. По условию задачи, эти плоскости равноудалены от центра сферы. Обозначим это расстояние как $d$.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть радиус сечения, образованного плоскостью $\alpha_1$, равен $r_1$, а центр этого сечения — точка $O_1$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha_1$ — это длина перпендикуляра $OO_1$, то есть $OO_1 = d$.

Возьмем произвольную точку $A_1$ на окружности сечения. Эта точка также принадлежит и сфере, поэтому расстояние от нее до центра сферы $O$ равно радиусу сферы $R$, то есть $OA_1 = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OO_1A_1$. Так как отрезок $OO_1$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha_1$ (по определению расстояния от точки до плоскости), то треугольник $\triangle OO_1A_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$. Катетами этого треугольника являются радиус сечения $r_1 = O_1A_1$ и расстояние $d = OO_1$, а гипотенузой — радиус сферы $R = OA_1$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $\triangle OO_1A_1$:$R^2 = d^2 + r_1^2$.

Из этого соотношения выразим квадрат радиуса сечения $r_1$:$r_1^2 = R^2 - d^2$.

Аналогичные рассуждения проведем для второго сечения, образованного плоскостью $\alpha_2$. Пусть его радиус равен $r_2$. Поскольку расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости по условию также равно $d$, для радиуса $r_2$ мы получим точно такое же соотношение:$r_2^2 = R^2 - d^2$.

Теперь сравним полученные выражения для $r_1^2$ и $r_2^2$. Правые части этих равенств совпадают, следовательно, равны и левые части:$r_1^2 = r_2^2$.

Так как радиусы $r_1$ и $r_2$ являются длинами отрезков, они могут принимать только неотрицательные значения. Из равенства их квадратов следует и равенство самих радиусов:$r_1 = r_2$.

Таким образом, мы доказали, что сечения сферы, плоскости которых равноудалены от её центра, имеют равные радиусы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Радиусы сечений, плоскости которых равноудалены от центра сферы, равны. Величина этого радиуса $r$ зависит от радиуса сферы $R$ и расстояния $d$ от центра до плоскости по формуле $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Поскольку для рассматриваемых сечений величины $R$ и $d$ одинаковы, их радиусы также равны.