Номер 11, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 100.

Условие.

13.11. Найдите длину линии пересечения сферы с плоскостью, удалённой от центра сферы на 2 см, если радиус сферы, проведённый в одну из точек сечения, образует с плоскостью сечения угол $30^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Линией пересечения сферы и плоскости является окружность. Задача состоит в том, чтобы найти длину этой окружности (её длину). Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности. Таким образом, нам необходимо найти радиус сечения.

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Пусть $O$ — центр сферы, а $\Pi$ — секущая плоскость. Расстояние от центра сферы до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\Pi$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $O'$. Тогда $O'$ является центром окружности, полученной в сечении, и длина отрезка $|OO'|$ по условию равна 2 см.

Возьмём произвольную точку $A$ на линии пересечения (на окружности сечения). Отрезок $OA$ является радиусом сферы ($R$), а отрезок $O'A$ — радиусом окружности сечения ($r$).

Рассмотрим треугольник $\triangle OO'A$. Поскольку $OO'$ — перпендикуляр к плоскости $\Pi$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O'$. Значит, $OO' \perp O'A$, и треугольник $\triangle OO'A$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O'$.

По условию, радиус сферы, проведённый в точку сечения ($OA$), образует с плоскостью сечения ($\Pi$) угол $30^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $OA$ на плоскость $\Pi$ является отрезок $O'A$. Следовательно, угол между $OA$ и плоскостью $\Pi$ — это угол $\angle OAO'$. Таким образом, $\angle OAO' = 30^\circ$.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $\triangle OO'A$, в котором известны:

• катет $|OO'| = 2$ см;
• угол $\angle OAO' = 30^\circ$, противолежащий этому катету.

Нам нужно найти длину второго катета $|O'A| = r$. Для этого воспользуемся тригонометрической функцией тангенса:

$\tan(\angle OAO') = \frac{|OO'|}{|O'A|}$

Подставим известные значения:

$\tan(30^\circ) = \frac{2}{r}$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Получаем уравнение:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{r}$

Отсюда находим радиус сечения $r$:

$r = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус окружности сечения, мы можем найти её длину $L$:

$L = 2\pi r = 2\pi \cdot (2\sqrt{3}) = 4\pi\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\pi\sqrt{3}$ см.