Номер 10, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 100.

Условие.

13.10. Через конец диаметра шара радиусом $R$ проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол $\alpha, \alpha \neq 90^{\circ}$. Найдите площадь образовавшегося сечения шара.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем диаметр, который обозначим как $AB$. Через конец этого диаметра, например, точку $A$, проведена секущая плоскость, образующая с диаметром $AB$ угол $\alpha$.

Сечением шара плоскостью является круг. Нам нужно найти площадь этого круга. Обозначим радиус этого круга-сечения как $r$. Тогда его площадь $S$ будет равна $S = \pi r^2$. Чтобы найти площадь, необходимо определить радиус $r$.

Пусть $O'$ - центр круга, образованного сечением. Тогда отрезок $OO'$ является перпендикуляром, опущенным из центра шара $O$ на плоскость сечения. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно длине этого отрезка, $d = OO'$.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения связаны теоремой Пифагора. Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус шара, проведенный к точке на окружности сечения, а катетами — радиус сечения и расстояние $d$, то получим соотношение:$R^2 = d^2 + r^2$Отсюда можно выразить квадрат радиуса сечения:$r^2 = R^2 - d^2$

Теперь найдем расстояние $d = OO'$. Угол $\alpha$ между диаметром $AB$ и плоскостью сечения — это угол между прямой $AB$ и её проекцией на эту плоскость. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO'$, в котором $\angle OO'A = 90^{\circ}$, так как $OO'$ перпендикулярен плоскости сечения. Гипотенуза $OA$ этого треугольника является радиусом шара, то есть $OA = R$. Угол между прямой $OA$ (которая является частью диаметра) и её проекцией $O'A$ на плоскость равен данному углу $\alpha$. Таким образом, $\angle OAO' = \alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle OAO'$:$\sin(\alpha) = \frac{OO'}{OA} = \frac{d}{R}$Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости сечения равно:$d = R \sin(\alpha)$

Подставим это выражение для $d$ в формулу для $r^2$:$r^2 = R^2 - (R \sin(\alpha))^2 = R^2 - R^2 \sin^2(\alpha)$Вынесем $R^2$ за скобки:$r^2 = R^2(1 - \sin^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$, получаем:$r^2 = R^2 \cos^2(\alpha)$

Теперь, зная квадрат радиуса сечения, мы можем найти его площадь:$S = \pi r^2 = \pi R^2 \cos^2(\alpha)$

Ответ: $\pi R^2 \cos^2(\alpha)$