Номер 15, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 15, страница 101.

Условие.

13.15. Сфера, радиус которой равен $R$, касается граней двугранного угла, равного $\alpha$. Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Двугранный угол образован двумя полуплоскостями (гранями), пересекающимися по прямой (ребру). Величина этого угла равна $\alpha$.

Так как сфера касается граней двугранного угла, расстояние от ее центра $O$ до каждой из этих граней равно радиусу $R$. Множество точек, равноудаленных от двух граней двугранного угла, — это биссекторная плоскость, которая делит двугранный угол пополам. Следовательно, центр сферы $O$ лежит в этой биссекторной плоскости.

Чтобы найти расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла, рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру и проходящее через центр сферы $O$. В этом сечении двугранный угол будет представлен в виде плоского угла величиной $\alpha$, а сфера — в виде окружности радиуса $R$, вписанной в этот угол. Центр окружности $O$ будет совпадать с центром сферы. Искомое расстояние — это расстояние от точки $O$ до вершины плоского угла (точки пересечения сечения с ребром).

Обозначим вершину угла в сечении как $A$. Центр $O$ вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, которая делит угол $\alpha$ на два угла по $\alpha/2$. Проведем из центра $O$ перпендикуляр $OK$ к одной из сторон угла. Длина этого перпендикуляра равна радиусу окружности, то есть $OK = R$.

В полученном прямоугольном треугольнике $\triangle OKA$ катет $OK$ равен $R$, а противолежащий ему угол $\angle OAK$ равен $\alpha/2$. Гипотенуза $OA$ является искомым расстоянием. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle OAK) = \frac{OK}{OA}$
Подставим известные значения:
$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{OA}$
Отсюда находим искомое расстояние $OA$:
$OA = \frac{R}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{R}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$