Номер 21, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 21, страница 101.

Условие.

13.21. Расстояние между равновеликими параллельными сечениями шара, радиус которого 15 см, равно 18 см. Найдите площадь каждого из этих сечений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус каждого из сечений. По условию, радиус шара $R = 15$ см.

Сечения шара плоскостью представляют собой круги. Так как сечения равновелики (имеют одинаковую площадь), то их радиусы $r$ равны. Это возможно только в том случае, если плоскости сечений находятся на одинаковом расстоянии от центра шара.

Обозначим это расстояние от центра шара до каждой из плоскостей как $h$. Расстояние между двумя параллельными плоскостями сечений $d$ равно сумме расстояний от центра до каждой плоскости, то есть $d = h + h = 2h$. По условию, $d = 18$ см.

Найдем расстояние $h$:
$2h = 18$ см
$h = \frac{18}{2} = 9$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $h$ связаны соотношением по теореме Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $h$ — катеты.

$R^2 = r^2 + h^2$

Из этой формулы выразим квадрат радиуса сечения $r^2$:
$r^2 = R^2 - h^2$

Подставим известные значения $R = 15$ см и $h = 9$ см:
$r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \text{ см}^2$.

Площадь $S$ каждого из сечений, которая является площадью круга радиусом $r$, вычисляется по формуле:
$S = \pi r^2$

Подставим найденное значение $r^2$ в формулу:
$S = \pi \cdot 144 = 144\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $144\pi \text{ см}^2$.