Номер 22, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 22, страница 101.

Условие.

13.22. На радиусе OA сферы с центром O отмечены точки B и C, причём точка B лежит между точками O и C. Через каждую из точек B и C проведена плоскость, перпендикулярная прямой OA. Окружности, образовавшиеся в сечении, имеют длины $24\pi$ см и $18\pi$ см, а расстояние между этими плоскостями равно 3 см. Найдите радиус сферы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы с центром в точке $O$. Плоскости, проходящие через точки $B$ и $C$ перпендикулярно радиусу $OA$, отсекают от сферы две окружности в сечениях. Найдем радиусы этих окружностей, зная их длины.

Длина окружности ($L$) связана с ее радиусом ($r$) формулой $L = 2\pi r$.

Для сечения, проходящего через точку $B$, длина окружности $L_B = 24\pi$ см. Найдем радиус этой окружности, который обозначим $r_B$:
$r_B = \frac{L_B}{2\pi} = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.

Для сечения, проходящего через точку $C$, длина окружности $L_C = 18\pi$ см. Найдем радиус этой окружности, который обозначим $r_C$:
$r_C = \frac{L_C}{2\pi} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом сечения $r$ (катет) и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости сечения (второй катет). По теореме Пифагора они связаны соотношением: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для сечения, проходящего через точку $B$, расстояние от центра $O$ до плоскости сечения равно $OB$. Уравнение для этого сечения будет:
$R^2 = OB^2 + r_B^2 = OB^2 + 12^2 = OB^2 + 144$.

Для сечения, проходящего через точку $C$, расстояние от центра $O$ до плоскости сечения равно $OC$. Уравнение для этого сечения будет:
$R^2 = OC^2 + r_C^2 = OC^2 + 9^2 = OC^2 + 81$.

По условию задачи, точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. Расстояние между секущими плоскостями равно расстоянию между точками $B$ и $C$, то есть $BC = 3$ см. Следовательно, $OC = OB + BC = OB + 3$.

Пусть $OB = x$. Тогда $OC = x + 3$. Подставим эти выражения в полученные уравнения:

$R^2 = x^2 + 144$

$R^2 = (x+3)^2 + 81$

Так как левые части уравнений равны, приравняем их правые части, чтобы найти $x$:

$x^2 + 144 = (x+3)^2 + 81$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 + 144 = x^2 + 6x + 9 + 81$

$x^2 + 144 = x^2 + 6x + 90$

Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$144 = 6x + 90$

$144 - 90 = 6x$

$54 = 6x$

$x = \frac{54}{6} = 9$ см.

Мы нашли расстояние $OB = 9$ см.

Теперь, зная $x$, мы можем найти радиус сферы $R$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$R^2 = x^2 + 144$

$R^2 = 9^2 + 144$

$R^2 = 81 + 144$

$R^2 = 225$

$R = \sqrt{225} = 15$ см.

Для проверки можем использовать второе уравнение: $OC = x + 3 = 9 + 3 = 12$ см.
$R^2 = OC^2 + 81 = 12^2 + 81 = 144 + 81 = 225$.
$R = \sqrt{225} = 15$ см. Результаты совпадают.

Ответ: 15 см.