Номер 28, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 28, страница 102.

Условие.

13.28. Два шара, радиусы которых равны 7 см и 9 см, имеют общий центр. Плоскость $ \alpha $ касается меньшего шара. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью $ \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $r_1$ — радиус меньшего шара, а $r_2$ — радиус большего шара. По условию, $r_1 = 7$ см и $r_2 = 9$ см. Шары имеют общий центр, обозначим его $O$.

Плоскость $\alpha$ касается меньшего шара. Это означает, что расстояние от центра шаров $O$ до плоскости $\alpha$ равно радиусу меньшего шара. Обозначим это расстояние как $d$. Следовательно, $d = r_1 = 7$ см.

Данная плоскость $\alpha$ пересекает больший шар, образуя в сечении круг. Нам необходимо найти площадь этого круга. Обозначим радиус этого круга как $r_{сеч}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения и радиус сечения $r_{сеч}$, а гипотенузой — радиус большего шара $r_2$.

По теореме Пифагора:

$d^2 + r_{сеч}^2 = r_2^2$

Отсюда можем найти квадрат радиуса сечения:

$r_{сеч}^2 = r_2^2 - d^2$

Подставляем известные значения:

$r_{сеч}^2 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$

Площадь сечения ($S$) — это площадь круга с радиусом $r_{сеч}$. Формула для площади круга: $S = \pi r^2$.

$S = \pi \cdot r_{сеч}^2 = 32\pi$ (см$^2$).

Ответ: $32\pi$ см$^2$.