Номер 30, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 30, страница 102.

Условие.

13.30. Составьте уравнение сферы радиусом 4, которая касается каждой из координатных плоскостей, если абсцисса и ордината центра сферы – отрицательные числа, а аппликата – положительное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что радиус сферы $R = 4$.

Сфера касается каждой из координатных плоскостей: $Oxy$ (задается уравнением $z=0$), $Oxz$ (задается уравнением $y=0$) и $Oyz$ (задается уравнением $x=0$). Условие касания сферы и плоскости означает, что расстояние от центра сферы до этой плоскости равно радиусу сферы.

Расстояние от центра сферы с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до координатных плоскостей $Oyz$, $Oxz$ и $Oxy$ равно модулям соответствующих координат центра: $|x_0|$, $|y_0|$ и $|z_0|$.

Так как сфера касается всех трех плоскостей, то модули координат ее центра равны радиусу: $|x_0| = R = 4$; $|y_0| = R = 4$; $|z_0| = R = 4$.

В условии также указано, что абсцисса ($x_0$) и ордината ($y_0$) центра сферы — отрицательные числа, а аппликата ($z_0$) — положительное число. Исходя из этого, определяем знаки координат центра: $x_0 = -4$; $y_0 = -4$; $z_0 = 4$.

Таким образом, центр сферы — это точка с координатами $C(-4; -4; 4)$.

Теперь подставим найденные координаты центра и значение радиуса в общее уравнение сферы: $(x - (-4))^2 + (y - (-4))^2 + (z - 4)^2 = 4^2$.

Упростив выражение, получаем искомое уравнение сферы: $(x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$.

Ответ: $(x + 4)^2 + (y + 4)^2 + (z - 4)^2 = 16$.