Номер 34, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 34, страница 102.

Условие.

13.34. Через точку A проведены касательные к сфере. Расстояние от точки A до каждой точки касания равно 40 см, а до ближайшей к ней точки сферы – 20 см. Найдите длину линии, которая является геометрическим местом точек касания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $A$ — данная точка вне сферы, $T$ — любая точка касания, а $B$ — ближайшая к $A$ точка на сфере.

По условию задачи, расстояние от точки $A$ до точки касания $T$ равно $AT = 40$ см. Расстояние от точки $A$ до ближайшей точки сферы $B$ равно $AB = 20$ см.

Точки $A$, $B$ и центр сферы $O$ лежат на одной прямой, причем $B$ находится между $A$ и $O$. Расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$ равно сумме расстояния от $A$ до $B$ и радиуса сферы $R$:$AO = AB + BO = 20 + R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAT$. Он является прямоугольным, так как радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$, перпендикулярен касательной $AT$. Таким образом, $\angle OTA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $OT = R$ (катет, радиус сферы)
• $AT = 40$ см (катет, расстояние до точки касания)
• $AO = 20 + R$ (гипотенуза)

По теореме Пифагора $AO^2 = OT^2 + AT^2$. Подставим известные значения:$(20 + R)^2 = R^2 + 40^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:$400 + 40R + R^2 = R^2 + 1600$$40R = 1600 - 400$$40R = 1200$$R = \frac{1200}{40} = 30$ см.

Итак, радиус сферы равен 30 см. Теперь мы можем найти расстояние от точки $A$ до центра сферы:$AO = 20 + R = 20 + 30 = 50$ см.

Геометрическое место точек касания — это окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной прямой $AO$. Пусть $C$ — центр этой окружности, а $r$ — ее радиус. Точка $C$ лежит на отрезке $AO$, а радиус окружности $r$ — это отрезок $CT$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAT$ отрезок $CT$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $T$ на гипотенузу $AO$. Радиус $r=CT$ можно найти из подобия треугольников $\triangle OCT$ и $\triangle OAT$. Они подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол $\angle AOT$.

Из подобия следует соотношение сторон:$\frac{CT}{AT} = \frac{OT}{AO}$

Отсюда находим $r = CT$:$r = AT \cdot \frac{OT}{AO} = 40 \cdot \frac{30}{50} = 40 \cdot \frac{3}{5} = 24$ см.

Искомая длина линии — это длина окружности с радиусом $r = 24$ см. Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$:$L = 2 \cdot \pi \cdot 24 = 48\pi$ см.

Ответ: $48\pi$ см.