Номер 39, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 39, страница 103.

Условие.

13.39. Через точку $A$ проведены две прямые, касающиеся сферы с центром $O$ в точках $B$ и $C$. Плоскости $AOB$ и $AOC$ перпендикулярны, $AO$ = 9 см, радиус сферы равен 6 см. Найдите расстояние между точками $B$ и $C$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию, прямые, проходящие через точку А, касаются сферы в точках B и C. Это означает, что отрезки AB и AC являются касательными к сфере. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно, то есть $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$. Оба треугольника являются прямоугольными. У них общая гипотенуза $AO = 9$ см, а катеты OB и OC равны как радиусы сферы, $OB = OC = 6$ см. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ равны по гипотенузе и катету.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ по теореме Пифагора найдем длину катета AB:

$AB^2 = AO^2 - OB^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$

$AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см.

Проведем в треугольнике $\triangle AOB$ высоту BH к гипотенузе AO. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$ см$^2$.

С другой стороны, $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot BH$.

Приравнивая два выражения для площади, найдем длину высоты BH:

$\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot BH = 9\sqrt{5}$

$BH = \frac{2 \cdot 9\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5}$ см.

Поскольку $\triangle AOB \cong \triangle AOC$, высота CH в треугольнике $\triangle AOC$, проведенная к общей гипотенузе AO, будет иметь ту же длину и то же основание H на прямой AO, что и высота BH. Таким образом, $CH = BH = 2\sqrt{5}$ см.

По условию задачи, плоскости $AOB$ и $AOC$ перпендикулярны. Линия их пересечения — это прямая AO. Отрезки BH и CH лежат в этих плоскостях, и оба перпендикулярны линии их пересечения AO по построению. Следовательно, угол между отрезками BH и CH равен линейному углу двугранного угла между плоскостями, то есть $\angle BHC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle BHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H. Мы можем найти искомое расстояние BC, которое является гипотенузой в этом треугольнике, используя теорему Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 20 + 20 = 40$.

$BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.