Номер 2, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 2, страница 107.

Условие.

2. В каком случае около многогранника можно описать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник — вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на поверхности этой сферы.

Около многогранника можно описать сферу тогда и только тогда, когда существует точка в пространстве, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка и будет являться центром описанной сферы, а расстояние от нее до любой из вершин — ее радиусом $R$.

Это основное условие можно выразить через несколько эквивалентных геометрических свойств:

• Через срединные перпендикуляры к ребрам: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, вершин, соединенных ребром), есть плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такую плоскость называют срединной перпендикулярной плоскостью. Следовательно, сфера может быть описана около многогранника тогда и только тогда, когда срединные перпендикулярные плоскости ко всем его ребрам пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром сферы.
• Через грани многогранника: Так как все вершины многогранника лежат на сфере, то и вершины каждой отдельной грани также лежат на этой сфере. Сечение сферы плоскостью грани представляет собой окружность. Это означает, что для каждой грани ее вершины лежат на одной окружности, то есть около каждой грани можно описать окружность. Центр описанной сферы равноудален от всех вершин грани, а значит, он лежит на перпендикуляре к плоскости этой грани, проведенном через центр ее описанной окружности. Отсюда вытекают два условия, которые должны выполняться одновременно:
  1. Около каждой грани многогранника можно описать окружность.
  2. Все перпендикуляры к плоскостям граней, восстановленные из центров этих описанных окружностей, должны пересекаться в одной точке.

Примеры многогранников, около которых всегда можно описать сферу:

• Любой правильный многогранник (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).
• Любая пирамида, в основании которой лежит многоугольник, который можно вписать в окружность.
• Любая прямая призма, в основании которой лежит многоугольник, который можно вписать в окружность.

Ответ: Сферу можно описать около многогранника в том и только в том случае, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин.