Номер 44, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 44, страница 103.

Условие.

13.44. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $2\sqrt{5}$ см и $4\sqrt{5}$ см. Боковые рёбра пирамиды равны, а её высота – $3\sqrt{19}$ см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана пирамида $SABCD$, основанием которой является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=4\sqrt{5}$ см и $AD=2\sqrt{5}$ см. Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр прямоугольника $O$ (точку пересечения диагоналей), так как все боковые рёбра равны. Высота пирамиды $SO = H = 3\sqrt{19}$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через диагональ основания, например, $AC$, и параллельна боковому ребру, например, $SB$.

Построим сечение. Так как плоскость $\alpha$ проходит через $AC$, а точка $O$ лежит на $AC$, то $O \in \alpha$. Плоскость $\alpha$ параллельна ребру $SB$. Ребро $SB$ лежит в плоскости диагонального сечения $SBD$. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $SBD$ по прямой, проходящей через точку $O$ параллельно $SB$. Проведём в плоскости $SBD$ прямую $OK \parallel SB$, где точка $K$ лежит на ребре $SD$.

Так как $O$ — середина диагонали $BD$ и $OK \parallel SB$, то по теореме Фалеса $OK$ — средняя линия треугольника $SBD$. Следовательно, точка $K$ — середина ребра $SD$.

Искомое сечение — это треугольник $ACK$. Для нахождения его площади найдём длину его основания $AC$ и высоту, проведённую из вершины $K$ к этому основанию.

1. Найдём длину диагонали $AC$ основания. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 80 + 20 = 100$.$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдём высоту $KN$ треугольника $ACK$, проведённую из вершины $K$ к основанию $AC$.Пусть $M$ — проекция точки $K$ на плоскость основания $ABCD$. Так как $K$ — середина $SD$, то её проекция $M$ является серединой проекции отрезка $SD$ на плоскость основания, то есть серединой отрезка $OD$.Высота точки $K$ над плоскостью основания равна $KM = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2}H = \frac{3\sqrt{19}}{2}$ см.

Теперь найдём в плоскости основания расстояние от точки $M$ до прямой $AC$. Обозначим его $MN$, где $N$ — основание перпендикуляра из $M$ на $AC$. Треугольники $MND$ и $ODC_1$ (где $C_1$ - проекция C на BD) не помогут. Проще использовать метод координат или геометрию.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Он равнобедренный, $AO=OD=R$, где $R$ - половина диагонали. $R = AC/2 = 10/2 = 5$ см.В прямоугольнике $ABCD$ диагонали не перпендикулярны. Площадь треугольника $AOD$ равна четверти площади прямоугольника: $S_{AOD} = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} (4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}) = \frac{1}{4} \cdot 8 \cdot 5 = 10$ см$^2$.С другой стороны, $S_{AOD} = \frac{1}{2} AO \cdot OD \cdot \sin(\angle AOD)$.

Высота треугольника $AOD$ из вершины $D$ на сторону $AO$ (которая является частью прямой $AC$) равна расстоянию от точки $D$ до прямой $AC$. Обозначим её $h_D$.$S_{AOD} = \frac{1}{2} AO \cdot h_D \implies 10 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_D \implies h_D = 4$ см.Так как $M$ — середина $OD$, то расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ (отрезок $MN$) будет равно половине расстояния от точки $D$ до прямой $AC$ (из подобия треугольников).$MN = \frac{1}{2} h_D = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

По теореме о трёх перпендикулярах: так как $KM \perp (ABC)$ (по построению) и $MN \perp AC$, то наклонная $KN$ также перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, $KN$ — высота треугольника $ACK$.

Найдём длину $KN$ из прямоугольного треугольника $KMN$ (где $\angle KMN = 90^\circ$):$KN^2 = KM^2 + MN^2 = \left(\frac{3\sqrt{19}}{2}\right)^2 + 2^2 = \frac{9 \cdot 19}{4} + 4 = \frac{171}{4} + \frac{16}{4} = \frac{187}{4}$.$KN = \sqrt{\frac{187}{4}} = \frac{\sqrt{187}}{2}$ см.

3. Найдём площадь сечения — треугольника $ACK$:$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KN = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{187}}{2} = \frac{5\sqrt{187}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{187}}{2}$ см$^2$.