Номер 40, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 40, страница 103.

Условие.

13.40. Через точку $M$ проведены две прямые, касающиеся сферы с центром $O$ в точках $A$ и $B$. Двугранный угол с гранями $AMO$ и $BMO$ равен $120^{\circ}$, $AB = 6$ см, $AM = 4\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ - радиус сферы с центром в точке $O$. Прямые $MA$ и $MB$ являются касательными к сфере, проведенными из одной точки $M$ к точкам $A$ и $B$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной точки к сфере, их длины равны: $MA = MB = 4\sqrt{3}$ см. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$. Это означает, что треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершинах $A$ и $B$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $OA = OB = R$ (как радиусы одной сферы). Следовательно, $\triangle OAM \cong \triangle OBM$ по гипотенузе и катету.

Двугранный угол между плоскостями $(AMO)$ и $(BMO)$ имеет общее ребро $OM$. Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла проведем из точки $A$ в плоскости $(AMO)$ перпендикуляр $AK$ к ребру $OM$. Так как треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны, то перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на ребро $OM$ в плоскости $(BMO)$, также придет в точку $K$, и его длина будет равна $AK$. Таким образом, $\angle AKB$ является линейным углом данного двугранного угла, и по условию $\angle AKB = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AKB$. Этот треугольник равнобедренный, поскольку $AK = BK$. Его основание $AB = 6$ см. Проведем в нем высоту $KH$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина отрезка $AB$, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. Также $KH$ является биссектрисой угла $\angle AKB$, поэтому $\angle AKH = \frac{1}{2}\angle AKB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AKH$ (с прямым углом $\angle AHK$) мы можем найти длину стороны $AK$:
$\sin(\angle AKH) = \frac{AH}{AK}$
$AK = \frac{AH}{\sin(\angle AKH)} = \frac{3}{\sin(60^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle OAM$ (с прямым углом $\angle OAM$). В нем известны: катет $OA = R$ (искомый радиус), катет $AM = 4\sqrt{3}$ см, а также мы нашли длину высоты $AK = 2\sqrt{3}$ см, проведенной к гипотенузе $OM$. Для высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, справедливо следующее соотношение, связывающее ее с катетами:
$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{AM^2}$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\frac{1}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{R^2} + \frac{1}{(4\sqrt{3})^2}$
$\frac{1}{12} = \frac{1}{R^2} + \frac{1}{48}$
Выразим $\frac{1}{R^2}$:
$\frac{1}{R^2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{48}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{R^2} = \frac{4}{48} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
Отсюда следует, что $R^2 = 16$. Так как радиус должен быть положительной величиной, $R = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.