Номер 3, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 3, страница 108.

Условие.

14.3. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона основания – 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — искомый радиус шара, в который вписана правильная треугольная призма. Пусть $h$ — высота призмы (равная ее боковому ребру), и $a$ — сторона основания призмы. По условию задачи даны: боковое ребро $h = 2$ см и сторона основания $a = 12$ см.

Центр шара, описанного около правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований призмы (на оси призмы). Расстояние от центра шара до любой вершины призмы равно радиусу шара $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр шара, центр одного из оснований призмы и любая вершина этого основания. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус шара $R$;
• один катет — это расстояние от центра шара до центра основания, что равно половине высоты призмы, то есть $\frac{h}{2}$;
• второй катет — это радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы.

По теореме Пифагора имеем соотношение: $R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

1. Найдем радиус $r$ окружности, описанной около основания. Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 12$ см. Формула для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника: $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставим значение $a$: $r = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Теперь, используя известные значения $r = 4\sqrt{3}$ см и $h = 2$ см, вычислим радиус шара $R$: $R^2 = (4\sqrt{3})^2 + (\frac{2}{2})^2$ $R^2 = (16 \cdot 3) + 1^2$ $R^2 = 48 + 1$ $R^2 = 49$

Извлекая квадратный корень, находим радиус: $R = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.