Номер 10, страница 108 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Многогранники, вписанные в сферу. Глава 2. Тела вращения - номер 10, страница 108.

Условие.

14.10. Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен $\alpha$, а сторона основания равна $a$. Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Сторона основания $AB = a$, плоский угол при вершине, например $\angle BSC$, равен $\alpha$.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, а её радиус равен искомому радиусу $R$ сферы.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, описанной около треугольника $SAC$.

1. Найдём длину бокового ребра $l = SA = SC$. Рассмотрим боковую грань – равнобедренный треугольник $SBC$. В нём $SB=SC=l$, $BC=a$, а угол $\angle BSC = \alpha$. Проведём в нём высоту $SM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $SBC$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике $SMC$ имеем:
$MC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$, и угол $\angle MSC = \frac{\alpha}{2}$.
Из определения синуса: $\sin(\angle MSC) = \frac{MC}{SC}$, то есть $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a/2}{l}$.
Следовательно, боковое ребро $l = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

2. Рассмотрим треугольник $SAC$. Его боковые стороны равны $SA = SC = l = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$. Основание $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому его длина равна $AC = a\sqrt{2}$.

3. Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности равнобедренного треугольника $SAC$ можно использовать формулу $R = \frac{x^2}{2h}$, где $x$ – длина боковой стороны, а $h$ – высота, опущенная на основание. В нашем случае $x=l$, а $h=SO=H$ (высота пирамиды). Найдём высоту пирамиды $H$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$, где $O$ – центр основания. Катет $OC$ равен половине диагонали $AC$: $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $SC = l$. По теореме Пифагора:
$H^2 = SO^2 = SC^2 - OC^2 = l^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = l^2 - \frac{a^2}{2}$.
Подставим ранее найденное выражение для $l^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$:
$H^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.
Используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\alpha)$, получаем:
$H^2 = \frac{a^2\cos(\alpha)}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.
Отсюда высота $H = \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
(Для существования пирамиды необходимо, чтобы $H>0$, то есть $\cos(\alpha) > 0$, что означает $0 < \alpha < \pi/2$).

4. Теперь можем найти радиус $R$ описанной сферы:
$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{\frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{\frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}}{\frac{a\sqrt{\cos(\alpha)}}{\sin(\frac{\alpha}{2})}}$.
Упрощая выражение, получаем:
$R = \frac{a^2 \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2}) \cdot a\sqrt{\cos(\alpha)}} = \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\sqrt{\cos(\alpha)}}$.

Ответ: $R = \frac{a}{4\sin(\frac{\alpha}{2})\sqrt{\cos(\alpha)}}$.