Номер 31, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 31, страница 102.

Условие.

13.31. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ в точке $A(-2; 1; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Уравнение сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ задает сферу с центром в начале координат O(0; 0; 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Касательная плоскость к сфере в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному из центра сферы в эту точку. Следовательно, вектор нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости будет совпадать с радиус-вектором $\vec{OA}$, где A(-2; 1; 2) — точка касания.

Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$:
$\vec{n} = \vec{OA} = (-2 - 0; 1 - 0; 2 - 0) = (-2; 1; 2)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Подставим координаты точки касания $A(-2; 1; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(-2; 1; 2)$ в уравнение плоскости и упростим его:
$-2(x - (-2)) + 1(y - 1) + 2(z - 2) = 0$
$-2(x + 2) + y - 1 + 2z - 4 = 0$
$-2x - 4 + y - 1 + 2z - 4 = 0$
$-2x + y + 2z - 9 = 0$.

Ответ: $-2x + y + 2z - 9 = 0$.