Номер 18, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Взаимное расположение сферы и плоскости. Глава 2. Тела вращения - номер 18, страница 101.

Условие.

13.18. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиусом 26 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его стороны равны 12 см и 16 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус сферы, $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, а $h$ — искомое расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника. Дано: $R = 26$ см, $a = 12$ см, $b = 16$ см.

Все вершины прямоугольника лежат на сфере, значит, они лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью этого прямоугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника $h$ и радиус сферы $R$ связаны соотношением по теореме Пифагора:

$R^2 = h^2 + r^2$

Отсюда, искомое расстояние $h$ можно найти по формуле:

$h = \sqrt{R^2 - r^2}$

Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности $r$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Подставим значения $R$ и $r$ в формулу для нахождения расстояния $h$:

$h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.