Номер 13, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.13. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание (ромб). Центр вписанного в пирамиду шара также лежит на высоте пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $SO = H$ — ее высота, где $O$ — центр окружности, вписанной в ромб основания. Пусть $r$ — искомый радиус вписанного шара, а $r_{осн}$ — радиус окружности, вписанной в основание. Центр вписанного шара $I$ лежит на отрезке $SO$.

Проведем сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и перпендикулярной одной из сторон ромба, например, $AD$. Пусть эта плоскость пересекает $AD$ в точке $M$. Тогда $OM$ — радиус вписанной в основание окружности, $OM = r_{осн}$, и $OM \perp AD$. Отрезок $SM$ является апофемой боковой грани $SAD$. Треугольник $SOM$ — прямоугольный ($\angle SOM = 90^\circ$). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AD$, поэтому $\angle SMO = \beta$.

Центр вписанного шара $I$ равноудален от всех граней пирамиды на расстояние $r$. Расстояние от $I$ до плоскости основания равно $IO = r$. Расстояние от $I$ до боковой грани $SAD$ также равно $r$. Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ ($\angle IOM = 90^\circ$). В этом треугольнике $IO=r$, $OM=r_{осн}$, а угол $\angle OMI = \frac{\beta}{2}$. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM}$

$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда получаем формулу для радиуса вписанного шара:

$r = r_{осн} \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Теперь найдем радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в ромб. Площадь ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ равна $S_{осн} = a^2 \sin\alpha$. С другой стороны, площадь ромба можно выразить через его высоту $h$: $S_{осн} = a \cdot h$. Высота ромба является диаметром вписанной окружности, то есть $h = 2r_{осн}$. Таким образом, $S_{осн} = a \cdot 2r_{осн}$.

Приравняем два выражения для площади:

$a^2 \sin\alpha = 2a \cdot r_{осн}$

Отсюда выразим $r_{осн}$:

$r_{осн} = \frac{a^2 \sin\alpha}{2a} = \frac{a \sin\alpha}{2}$

Подставим найденное значение $r_{осн}$ в формулу для радиуса вписанного шара:

$r = \left(\frac{a \sin\alpha}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{a}{2} \sin\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Ответ: $\frac{a}{2} \sin\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$