Номер 13, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 13, страница 115.

Условие.

15.13. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны `\beta`, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание (ромб). Центр вписанного в пирамиду шара также лежит на высоте пирамиды.

Пусть `S` — вершина пирамиды, `SO = H` — ее высота, где `O` — центр окружности, вписанной в ромб основания. Пусть `r` — искомый радиус вписанного шара, а `r_{осн}` — радиус окружности, вписанной в основание. Центр вписанного шара `I` лежит на отрезке `SO`.

Проведем сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту `SO` и перпендикулярной одной из сторон ромба, например, `AD`. Пусть эта плоскость пересекает `AD` в точке `M`. Тогда `OM` — радиус вписанной в основание окружности, `OM = r_{осн}`, и `OM \perp AD`. Отрезок `SM` является апофемой боковой грани `SAD`. Треугольник `SOM` — прямоугольный (`\angle SOM = 90^\circ`). Угол `\angle SMO` является линейным углом двугранного угла при ребре `AD`, поэтому `\angle SMO = \beta`.

Центр вписанного шара `I` равноудален от всех граней пирамиды на расстояние `r`. Расстояние от `I` до плоскости основания равно `IO = r`. Расстояние от `I` до боковой грани `SAD` также равно `r`. Это означает, что точка `I` лежит на биссектрисе угла `\angle SMO`. Рассмотрим прямоугольный треугольник `IOM` (`\angle IOM = 90^\circ`). В этом треугольнике `IO=r`, `OM=r_{осн}`, а угол `\angle OMI = \frac{\beta}{2}`. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем:

`\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM}`

`\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}`

Отсюда получаем формулу для радиуса вписанного шара:

`r = r_{осн} \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)`

Теперь найдем радиус `r_{осн}` окружности, вписанной в ромб. Площадь ромба со стороной `a` и углом `\alpha` равна `S_{осн} = a^2 \sin\alpha`. С другой стороны, площадь ромба можно выразить через его высоту `h`: `S_{осн} = a \cdot h`. Высота ромба является диаметром вписанной окружности, то есть `h = 2r_{осн}`. Таким образом, `S_{осн} = a \cdot 2r_{осн}`.

Приравняем два выражения для площади:

`a^2 \sin\alpha = 2a \cdot r_{осн}`

Отсюда выразим `r_{осн}`:

`r_{осн} = \frac{a^2 \sin\alpha}{2a} = \frac{a \sin\alpha}{2}`

Подставим найденное значение `r_{осн}` в формулу для радиуса вписанного шара:

`r = \left(\frac{a \sin\alpha}{2}\right) \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{a}{2} \sin\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)`

Ответ: `\frac{a}{2} \sin\alpha \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)`