Номер 24, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 24, страница 116.

Условие.

15.24. В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. В неё вписан шар радиуса $R$.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основания — квадраты. Обозначим стороны большего и меньшего оснований как $a$ и $b$ соответственно. Тогда их периметры равны $P_1 = 4a$ и $P_2 = 4b$.Формула для площади боковой поверхности принимает вид:$S_{бок} = \frac{1}{2}(4a + 4b) \cdot l = 2(a+b)l$.

Поскольку в усечённую пирамиду можно вписать шар, её высота $h$ равна диаметру шара, то есть $h = 2R$.

Рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются стороны квадратов $a$ и $b$, а боковыми сторонами — апофемы $l$. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $h = 2R$.

В эту трапецию вписан большой круг шара радиусом $R$. Свойство описанной около окружности трапеции гласит, что суммы длин её противоположных сторон равны. Следовательно:$a + b = l + l = 2l$.

Подставим это соотношение в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = 2(2l)l = 4l^2$.

Теперь найдём апофему $l$. Двугранный угол при ребре большего основания равен $45^\circ$. В нашем осевом сечении (равнобокой трапеции) это угол при большем основании. Обозначим его $\alpha = 45^\circ$.

В этой трапеции проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является апофема $l$, одним катетом — высота пирамиды $h=2R$, а противолежащий этому катету угол — это угол $\alpha = 45^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$$\sin(45^\circ) = \frac{2R}{l}$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2R}{l}$

Отсюда выразим апофему $l$:$l = \frac{2R \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4R}{\sqrt{2}} = \frac{4R\sqrt{2}}{2} = 2R\sqrt{2}$.

Наконец, подставим найденное значение $l$ в формулу для площади боковой поверхности:$S_{бок} = 4l^2 = 4 \cdot (2R\sqrt{2})^2 = 4 \cdot (4R^2 \cdot 2) = 4 \cdot 8R^2 = 32R^2$.

Решение:
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды, в которую можно вписать шар, вычисляется по формуле $S_{бок} = 4l^2$, где $l$ - апофема. Высота пирамиды $h$ равна диаметру вписанного шара, $h=2R$. Двугранный угол при большем основании равен $\alpha=45^\circ$. Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой $l$, высотой $h$ и проекцией апофемы, находим $l = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{2R}{\sin(45^\circ)} = \frac{2R}{\sqrt{2}/2} = 2R\sqrt{2}$. Тогда площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 4 \cdot (2R\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 8R^2 = 32R^2$.
Ответ: $32R^2$.