Номер 26, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Многогранники, описанные около сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 26, страница 116.

Условие.

15.26. Высота ромба равна 12 см, а меньшая диагональ – 15 см. Найдите площадь ромба.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона ромба равна $a$, высота — $h$, а диагонали — $d_1$ и $d_2$.
По условию задачи:
Высота $h = 12$ см.
Меньшая диагональ $d_1 = 15$ см.

Площадь ромба можно найти по формуле $S = a \cdot h$. Подставив известное значение высоты, получаем:
$S = 12a$

Также площадь ромба можно вычислить через произведение его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Подставив известное значение меньшей диагонали, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot d_2 = 7.5d_2$

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти связь между стороной $a$ и большей диагональю $d_2$:
$12a = 7.5d_2$
Выразим $d_2$ через $a$:
$d_2 = \frac{12a}{7.5} = \frac{120a}{75} = \frac{8a}{5}$

Для ромба справедливо свойство, связывающее его сторону и диагонали: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.
Подставим в эту формулу известные значения $d_1$ и полученное выражение для $d_2$:
$15^2 + (\frac{8a}{5})^2 = 4a^2$
$225 + \frac{64a^2}{25} = 4a^2$

Решим это уравнение, чтобы найти сторону ромба $a$. Перенесем слагаемые с $a^2$ в одну часть:
$4a^2 - \frac{64a^2}{25} = 225$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{100a^2 - 64a^2}{25} = 225$
$\frac{36a^2}{25} = 225$
$a^2 = \frac{225 \cdot 25}{36}$
$a = \sqrt{\frac{225 \cdot 25}{36}} = \frac{15 \cdot 5}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ см.

Теперь, зная сторону ромба, мы можем найти его площадь:
$S = a \cdot h = 12.5 \cdot 12 = 150$ см$^2$.

Ответ: 150 см$^2$.