Номер 5, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 5, страница 120.

Условие.

5. Где расположен центр сферы, описанной около конуса? усечённого конуса?

Решение 1.

Решение 3.

Для конуса: Центр сферы, описанной около конуса, всегда лежит на его оси симметрии. Это обусловлено тем, что центр сферы должен быть равноудален от всех точек окружности основания конуса, а также от его вершины. Чтобы найти точное положение центра, рассматривают осевое сечение конуса, которое является равнобедренным треугольником. Сечение сферы при этом будет окружностью, описанной около этого треугольника. Центр такой окружности (а значит, и сферы) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Так как ось конуса является серединным перпендикуляром к основанию треугольника, то центр сферы лежит на пересечении оси конуса и серединного перпендикуляра к любой из его образующих (боковых сторон треугольника).
Ответ: Центр сферы, описанной около конуса, расположен на оси конуса в точке пересечения этой оси с серединным перпендикуляром к любой образующей конуса.

Для усечённого конуса: Центр сферы, описанной около усечённого конуса, также всегда лежит на его оси симметрии. Сферу можно описать около любого (прямого кругового) усечённого конуса, поскольку его осевым сечением является равнобокая трапеция, а около любой равнобокой трапеции можно описать окружность. Центр этой окружности, который и является центром сферы, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. Ось усечённого конуса является общим серединным перпендикуляром к его верхнему и нижнему основаниям. Таким образом, как и в случае с полным конусом, центр сферы находится на пересечении оси усечённого конуса и серединного перпендикуляра к любой из его образующих.
Ответ: Центр сферы, описанной около усечённого конуса, расположен на оси усечённого конуса в точке пересечения этой оси с серединным перпендикуляром к любой образующей усечённого конуса.