Номер 7, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 7, страница 120.

Условие.

7. В каком случае в цилиндр можно вписать сферу?

Решение 1.

Решение 3.

Сферу можно вписать в цилиндр, если она касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности.

Пусть радиус вписанной сферы равен $R_{сф}$, а радиус основания и высота цилиндра равны $R_{цил}$ и $H$ соответственно.

Из условия касания сферы обоих оснований цилиндра следует, что расстояние между основаниями, то есть высота цилиндра $H$, должно быть равно диаметру сферы ($2R_{сф}$). Таким образом, получаем первое соотношение: $H = 2R_{сф}$.

Из условия касания сферы боковой поверхности цилиндра следует, что ее центр должен лежать на оси цилиндра, а ее радиус $R_{сф}$ должен быть равен радиусу основания цилиндра $R_{цил}$. Таким образом, получаем второе соотношение: $R_{сф} = R_{цил}$.

Объединим эти два условия. Подставив $R_{сф} = R_{цил}$ из второго соотношения в первое, получим: $H = 2R_{цил}$.

Поскольку диаметр основания цилиндра $D_{цил}$ равен удвоенному радиусу ($D_{цил} = 2R_{цил}$), мы приходим к выводу, что высота цилиндра должна быть равна диаметру его основания: $H = D_{цил}$.

Такой цилиндр, у которого высота равна диаметру основания, называется равносторонним. Осевое сечение такого цилиндра является квадратом, а вписанная сфера в сечении выглядит как вписанная в этот квадрат окружность.

Ответ: в цилиндр можно вписать сферу в том случае, если он является равносторонним, то есть его высота равна диаметру его основания.