Номер 9, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 9, страница 120.

Условие.

9. Чему равен радиус сферы, вписанной в цилиндр?

Решение 1.

Решение 3.

Сфера считается вписанной в цилиндр, если она касается его двух оснований (верхнего и нижнего) и боковой поверхности.

Пусть радиус сферы равен $R_{сферы}$, а радиус основания и высота цилиндра равны $R_{цил}$ и $H_{цил}$ соответственно.

Рассмотрим осевое сечение этой системы. Сечением цилиндра будет прямоугольник, а сечением вписанной сферы — окружность, вписанная в этот прямоугольник.

Из условия, что окружность вписана в прямоугольник, следуют два равенства:

1. Диаметр окружности ($2 \cdot R_{сферы}$) равен ширине прямоугольника (диаметру основания цилиндра $2 \cdot R_{цил}$). Это условие касания сферы боковой поверхности цилиндра. Отсюда получаем: $2 \cdot R_{сферы} = 2 \cdot R_{цил}$ $R_{сферы} = R_{цил}$
2. Диаметр окружности ($2 \cdot R_{сферы}$) равен высоте прямоугольника (высоте цилиндра $H_{цил}$). Это условие касания сферы верхнего и нижнего оснований цилиндра. Отсюда: $H_{цил} = 2 \cdot R_{сферы}$

Таким образом, радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу основания этого цилиндра.

Ответ: радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу основания этого цилиндра.