Номер 11, страница 120 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 11, страница 120.

Условие.

11. Где расположен центр сферы, вписанной в конус? в усечённый конус?

Решение 1.

Решение 3.

Для определения положения центра вписанной сферы в обоих случаях удобно использовать осевое сечение. Осевое сечение конуса (или усеченного конуса) — это сечение плоскостью, проходящей через его ось. В этом сечении сфера будет выглядеть как круг, а конус или усеченный конус — как равнобедренный треугольник или равнобедренная трапеция соответственно.

в конус

Сфера, вписанная в конус, касается его основания и боковой поверхности.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а вписанная сфера в этом сечении будет выглядеть как круг, вписанный в этот треугольник.
Центр круга, вписанного в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
В равнобедренном треугольнике, который является осевым сечением конуса, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Эта высота совпадает с осью конуса. Следовательно, одна из биссектрис — это ось конуса.
Таким образом, центр вписанной сферы находится в точке пересечения оси конуса и биссектрисы угла при основании осевого сечения (то есть угла между образующей и плоскостью основания конуса).
Ответ: Центр сферы, вписанной в конус, лежит на оси конуса в точке пересечения этой оси с биссектрисой угла, образованного образующей конуса и радиусом его основания.

в усечённый конус

Сфера, вписанная в усеченный конус, касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, а вписанная сфера в этом сечении будет выглядеть как круг, вписанный в эту трапецию.
Центр круга, вписанного в трапецию, должен быть равноудален от всех ее сторон. В частности, он должен быть равноудален от параллельных оснований трапеции. Это означает, что центр лежит на средней линии трапеции.
Поскольку трапеция равнобедренная, ее ось симметрии совпадает с осью усеченного конуса. Центр вписанного круга должен лежать на этой оси симметрии.
Следовательно, центр вписанной сферы находится в точке пересечения оси усеченного конуса и плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину высоты конуса.
Стоит отметить, что сферу можно вписать в усеченный конус только в том случае, если его образующая $l$ равна сумме радиусов оснований $R$ и $r$: $l = R + r$. В этом случае высота конуса $H$ равна диаметру вписанной сферы, т.е. $H = 2R_{сферы}$. Центр сферы будет находиться на высоте $R_{сферы} = H/2$ от нижнего основания.
Ответ: Центр сферы, вписанной в усеченный конус, лежит на оси конуса в точке, являющейся серединой отрезка высоты, соединяющего центры оснований.