Номер 4, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 4, страница 121.

Условие.

16.4. Образующая конуса длиной 9 см равна диаметру его основания. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $l$ — образующая конуса, $d$ — диаметр его основания, $r$ — радиус основания, а $R$ — искомый радиус описанной сферы.

По условию задачи, длина образующей конуса равна 9 см, то есть $l = 9$ см.

Также дано, что образующая равна диаметру основания: $l = d$.

Таким образом, $d = 9$ см. Радиус основания конуса равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание — диаметру основания конуса $d$.

Поскольку в нашем случае $l = d = 9$ см, осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной $a = 9$ см.

Сфера, описанная около конуса, проходит через его вершину и окружность основания. Это означает, что осевое сечение конуса (равносторонний треугольник) вписано в большой круг описанной сферы. Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен радиусу окружности, описанной около этого равностороннего треугольника.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны нашего треугольника $a = 9$ см:

$R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.