Номер 8, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 8, страница 121.

Условие.

16.8. Угол между образующей конуса и его высотой равен $45^{\circ}$, а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — вписанная в этот треугольник окружность. Центр вписанного шара лежит на высоте конуса.

Обозначим вершину конуса буквой $S$, центр основания — $O$, а точку на окружности основания — $A$. Тогда $SO$ — высота конуса, $SA$ — образующая, а треугольник $SOA$ — прямоугольный с прямым углом $O$. Угол между образующей и высотой, по условию, равен $45°$, то есть $∠OSA = 45°$.

Пусть $C$ — центр вписанного шара, а $r$ — его радиус. Центр $C$ лежит на отрезке $SO$. По условию, расстояние от центра шара до вершины конуса равно 4 см, значит, $SC = 4$ см.

Проведем радиус шара $CK$ из центра $C$ к точке касания $K$ на образующей $SA$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $CK \perp SA$, и треугольник $SCK$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $SCK$ известны:

• гипотенуза $SC = 4$ см;
• угол $∠CSK = ∠OSA = 45°$;
• катет $CK$, который является радиусом шара, $CK = r$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$sin(∠CSK) = \frac{CK}{SC}$

Подставим известные значения в формулу:

$sin(45°) = \frac{r}{4}$

Теперь выразим и найдем радиус $r$:

$r = 4 \cdot sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.