Номер 14, страница 121 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Комбинации цилиндра и сферы, конуса и сферы. Глава 2. Тела вращения - номер 14, страница 121.

Условие.

16.14. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота – 9 см.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция, а осевым сечением описанного шара — окружность, описанная около этой трапеции. Радиус этой окружности и будет являться искомым радиусом шара.

Пусть радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 8$ см и $r_2 = 5$ см, а его высота $h = 9$ см.

Введём систему координат так, чтобы центр большего основания конуса находился в начале координат $(0, 0)$, а ось симметрии конуса совпадала с осью $Oy$. Тогда вершины трапеции, являющейся осевым сечением, будут иметь координаты:

• Вершины большего основания: $A(-8, 0)$ и $B(8, 0)$.
• Вершины меньшего основания: $C(-5, 9)$ и $D(5, 9)$.

Центр описанной окружности (и шара) лежит на оси симметрии трапеции, то есть на оси $Oy$. Обозначим его координаты как $O(0, y)$. Радиус шара $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин трапеции.

Запишем выражения для квадрата радиуса $R^2$, используя расстояние от центра $O(0, y)$ до вершин $B(8, 0)$ и $D(5, 9)$:

1. Квадрат расстояния от $O$ до $B$:
$R^2 = (8-0)^2 + (0-y)^2 = 8^2 + y^2 = 64 + y^2$.

2. Квадрат расстояния от $O$ до $D$:
$R^2 = (5-0)^2 + (9-y)^2 = 5^2 + (9-y)^2 = 25 + 81 - 18y + y^2 = 106 - 18y + y^2$.

Поскольку оба выражения равны $R^2$, мы можем их приравнять, чтобы найти $y$:
$64 + y^2 = 106 - 18y + y^2$
$64 = 106 - 18y$
$18y = 106 - 64$
$18y = 42$
$y = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}$.

Теперь, зная координату центра шара $y = \frac{7}{3}$, можем найти радиус $R$. Подставим значение $y$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = 64 + y^2 = 64 + (\frac{7}{3})^2 = 64 + \frac{49}{9}$
$R^2 = \frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{49}{9} = \frac{576 + 49}{9} = \frac{625}{9}$.

Извлекая квадратный корень, находим радиус шара:
$R = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25}{3}$ см (или $8 \frac{1}{3}$ см).